اثبت ان

لكل عدد طبيعي ن فان

ن ( ن^2 + 5 ) يقبل القسمة على 6 .

 

 

[elghool]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاتة

أولا : أسلوب الأستنتاج الرياضي

أختبار صحة العلاقة عند ن = 1

الطرف الأيمن : 1 ( 1 + 5 ) = 6 تقبل القسمة

أختبار صحة العلاقة عند ن = 2

الطرف الأيمن : 2 ( 4 + 5 ) = 18 تقبل القسمة


بفرض صحة العلاقة عند ن = ك

أذن ك ( ك^2 + 5 ) تقبل القسمة علي 6

أثبات صحة العلاقة عند ن = ك + 1

أذن المطلوب الأن هو أثبات أن العلاقة

( ك + 1 ) [ ( ك + 1 )^2 + 5 ] تقبل القسمة علي 6

أتبع التالي :

( ك + 1 ) [ ك^2 + 2 ك + 5 + 1 ]

= ( ك + 1 ) [ ( ك^2 + 5 ) + ( 2 ك + 1 ) ]

= ك ( ك^2 + 5 ) + ك^2 + 5 + 2 ك^2 + 3 ك + 1

= ك ( ك^2 + 5 ) + 3 [ ك^2 + ك + 2 ]

وهذا المقدار القسم الأول منه يقبل القسمة علي 6

والقسم الثاني منه يقبل القسمة علي 6

التوضيح الأول : يقبل علي حسب طبيعة الفرض

الثاني يقبل لان

1) يقبل 3 [ ك^2 + ك + 2 ] القسمة علي 3

ك عدد طبيعي

مربع عدد طبيعي + العدد نفسة = عدد زوجي

أذن ك^2 + ك + 2 تقبل القسمة علي 2

اذن المقدار كله يقبل القسمة علي 6

واليك حلول أخري في الطريق

سامح الدهشان

 

 

كنت متاكد بانك اول من سيقدم الحل

ولكن اريد حلا ااااخر .. وهنا هو السؤال ياخي سامح

 

 

[hocinemath]

البرهان الثاني الموتاح هو البرهان بالخلف
نفرض القضية خاطئة ونحاول الحصول على تناقض
نضع ك هي العبارة المطلوبة ونفرض أن ك لايقبل القسمة على 6 ومنه فأنه إذا كان ن زوجي فيجب أن يكون ن مربع +5 لا يضاعف 3
وإذا كان ن فردي فأن ن مربع +5 زوجي ومضاعف للعدد 6 وهذا تناقض
ومنه فأن العدد ك مضاعف للعدد 6

 

 

يمكن تقسيم مجموعة الأعداد الطبيعيةإلى ستة أصناف
ن=6ك+0 / ن(ن^2+5)=(6ك+0)((6ك+0)^2+5)
ن=6ك+1 / ن(ن^2+5)=(6ك+1)((6ك+1)^2+5)
ن=6ك+2 / ن(ن^2+5)=(6ك+2)((6ك+2)^2+5)
ن=6ك+4 / ن(ن^2+5)=(6ك+3)((6ك+3)^2+5)
ن=6ك+3 / ن(ن^2+5)=(6ك+4)((6ك+4)^2+5)
ن=6ك+5 / ن(ن^2+5)=(6ك+5)((6ك+5)^2+5)
بالتبسيط نجد بدلالة ك العبارات التالية :
ن=6ك+0 / ن(ن^2+5)=6ك(36ك^2+5)
ن=6ك+1 / ن(ن^2+5)=6(6ك+1)(6ك^2+2ك+1)
ن=6ك+2 / ن(ن^2+5)=6(3ك+1)(12ك^2+8ك+3)
ن=6ك+4 / ن(ن^2+5)=6(2ك+1)(18ك^2+18ك+7)
ن=6ك+3 / ن(ن^2+5)=6(3ك+2)(12ك^2+16ك+7)
ن=6ك+5 / ن(ن^2+5)=6(6ك+5)(6ك^2+10ك+5)
ونرى بأنها كلها مضاعفات للعدد 6 وبالتالي تقبل القسمة على 6
والسلام