المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية



المتتابعة هي : دالة د مجالها مجموعة جزئية من ط ومداها مجموعة جزئية من ح .

وتسمى : د(ن)=أن بالحد النوني للمتتابعة ، ن تنتمي لـ ط ، وعناصرها تسمى حدود المتتابعة .

وهناك متتابعات منتهية : د {1، 2،3، ...،م} ← ح . ومتتابعات غير منتهية : د : ط ← ح .

المتتابعة الحسابية

نقول أن {ح ن } متتابعة حسابية إذا وجد عدد ثابت د بحيث د = ح ن +1 - ح ن ، لجميع قيم ن وتسمى د أساس المتتابعة .

ملاحظات :

1- الحد النوني للمتتابعة الحسابية هو : ح ن = أ + (ن - 1) د ، أ هو الحد الأول ، د هو الأساس .

2- الأوساط الحسابية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .

أمثلة :

مثال(1) : هل المتتابعة : {ح ن } ={15،11،7،3،.....} حسابية أم لا ولماذا ؟ .

جواب(1) : المتتابعة حسابية لأن ح ن +1 - حن = 4 ، لجميع قيم ن .

مثال(2) : أوجد الحد الثالث عشر (ح13) للمتتابعة الحسابية : {1،-3،-7،-11،....} .

جواب(2) : أساس المتتابعة (د) = -3-1 = -4 ، الحد الأول (أ) =1 ، إذن :

ح13 = 1 + (13 - 1) × -4 = 1 + (- 48) = - 47 .

مثال(3) : إدخل خمسة أوساط حسابية بين العددين -13 ، 245 ؟ .

جواب(3) : أ = -13 ، ح ن = 245 ، ن = 7 ، د = ؟

نوجد أساس المتتابعة (د) من القانون كمايلي :

ح ن = أ + (ن - 1)د

245 = -13 + (7 - 1) × د ، إذن د = 43 ، إذن الأوساط هي : 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202 .

تمرين:

أوجد عدد الحدود المحصورة بين 13 ، 100 والتي تقبل القسمة على 6 ؟ ( ن = 14 حدا ) .

إرشاد : الحد الأخير = 96 .


--------------------------------------------------------------------------------

المتتابعة الهندسية



عزيزي الطالب لاحظ المتتابعات التالية واكتشف القاعدة :

{16،8،4،2،1،.....} ، {5،5،5،.....} ، {27،-3،9،-1،....}

نلاحظ في كل المتتابعات السابقة أن كل حد قسمة سابقه يساوي مقدار ثابت ، وهذا النوع من المتتابعات نسميه بالمتتابعات الهندسية .

المتتابعة الهندسية:

نقول أن {ح ن } متتابعة هندسية إذا وجد عدد ثابت ر بحيث ر = ح ن +1 ÷ ح ن ، لجميع قيم ن وتسمى ر أساس المتابعة .

ملاحظات :

1-الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو : ح ن = أ رن - 1 ، حيث أ هو الحد الأول ، ر هو أساس المتتابعة .

2- الأوساط الهندسية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .

3- إذا كانت الأعداد أ ، ب ، جـ في تتابع هندسي فإن ب يسمى الوسط الهندسي حيث :

أ/ب = ب/جـ ← ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ×جـ .

أمثلة :

مثال(1) : قرر فيما إذا كانت المتتابعة التالية هندسية أم لا : 3 ، 6 ، 12 ،..... ؟

جواب(1) : المتتابعة هندسية لأن ح ن +1 ÷ ح ن = 2 ، لجميع قيم ن .

مثال(2) : أوجد الحد العاشر في المتتابعة : 2/1،-2،1،.... ؟

جواب(2) : المتتابعة هندسية ، أ = 2/1 ، ر = -1 ÷ 2/1 = -2 ، إذن :

ح10 = 2/1 × -92 = 2/1 × ( -512) = 256

مثال(3) : أوجد الوسط الهندسي للعددين 16 ، 9 ؟ .

جواب(3) : الوسط الهندسي للعددين = زائد أو ناقص جذر 144 = زائد أو ناقص 12 .

مثال(4) : إدخل أربعة أوساط هندسية بين العددين 486 ، 2 ؟

جواب(4) : أ= 486 ، ح6 = 2 ، ن = 6 ، بقي أن نوجد الأساس ر كما يلي :

ح ن = أ رن - 1

2 =486 × ر6 - 1 ← ر5 = 486/2 ← ر5 = 243/1 ، لاحظ أن 243 = 53

ر5 = (3/1)5 ← ر = 3/1

468 × 3/1 = 162 ، 162 × 3/1 =54 ، وهكذا .

إذن الأوساط الهندسية الأربعة هي : 162 ، 54 ، 18 ، 6 . (تذكر أن ر = ح ن +1 ÷ ح ن ) .

ملاحظة : إذا كان عدد الأوساط المطلوبة فردي ، كأن يقول إدخل خمسة أوساط... ، فإن الأساس ر الذي توصلت إليه يكون زائد أو ناقص ، بمعنى أن يكون خمسة أوساط موجبة وأخرى سالبة .

أعلم أنك تريد مثال ، لذا سأذكر المثال التالي :

++++* إدخل خمسة أوساط هندسية بين العددين 81 ، 9/1 ؟

جــ : أ= 81 ، ح7 = 9/1 ، ن = 7 ،

ح ن = أ رن - 1

9/1 =81 × ر7 - 1 ← ر6 = 9/1 ÷ 81 ← ر6 = 729/1 ، لاحظ أن 729 = 63

ر6 = (3/1)6 ← ر =+ - 3/1

عندما ر= + 3/1 فإن الأوساط هي : 27 ، 9 ، 3 ، 1 ، 3/1

عندما ر= - 3/1 فإن الأوساط هي : -27 ، 9 ، -3 ، 1 ، -3/1

تمرين :

1- إدخل وسطين هندسيين بين العددين 9 ، -243 ؟ ( الحل : -27 ، 81) .

2- أوجد المتتابعة الهندسية التي يزيد حدها الثالث عن الثاني بمقدار 6 ، ويزيد الحد الرابع عن الثالث بمقدار 4 ؟ . ( -27 ، -18 ، -12 ، -8 ، ......) .

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة abo_rami2004 [ مشاهدة المشاركة ]

المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية المتتابعة هي : دالة د مجالها مجموعة جزئية من ط ومداها مجموعة جزئية من ح . وتسمى : د(ن)=أن بالحد النوني للمتتابعة ، ن تنتمي لـ ط ، وعناصرها تسمى حدود المتتابعة . وهناك متتابعات منتهية : د {1، 2،3، ...،م} ← ح . ومتتابعات غير منتهية : د : ط ← ح . المتتابعة الحسابية نقول أن {ح ن } متتابعة حسابية إذا وجد عدد ثابت د بحيث د = ح ن +1 - ح ن ، لجميع قيم ن وتسمى د أساس المتتابعة . ملاحظات : 1- الحد النوني للمتتابعة الحسابية هو : ح ن = أ + (ن - 1) د ، أ هو الحد الأول ، د هو الأساس . 2- الأوساط الحسابية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب . أمثلة : مثال(1) : هل المتتابعة : {ح ن } ={15،11،7،3،.....} حسابية أم لا ولماذا ؟ . جواب(1) : المتتابعة حسابية لأن ح ن +1 - حن = 4 ، لجميع قيم ن . مثال(2) : أوجد الحد الثالث عشر (ح13) للمتتابعة الحسابية : {1،-3،-7،-11،....} . جواب(2) : أساس المتتابعة (د) = -3-1 = -4 ، الحد الأول (أ) =1 ، إذن : ح13 = 1 + (13 - 1) × -4 = 1 + (- 48) = - 47 . مثال(3) : إدخل خمسة أوساط حسابية بين العددين -13 ، 245 ؟ . جواب(3) : أ = -13 ، ح ن = 245 ، ن = 7 ، د = ؟ نوجد أساس المتتابعة (د) من القانون كمايلي : ح ن = أ + (ن - 1)د 245 = -13 + (7 - 1) × د ، إذن د = 43 ، إذن الأوساط هي : 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202 . تمرين: أوجد عدد الحدود المحصورة بين 13 ، 100 والتي تقبل القسمة على 6 ؟ ( ن = 14 حدا ) . إرشاد : الحد الأخير = 96 . -------------------------------------------------------------------------------- المتتابعة الهندسية عزيزي الطالب لاحظ المتتابعات التالية واكتشف القاعدة : {16،8،4،2،1،.....} ، {5،5،5،.....} ، {27،-3،9،-1،....} نلاحظ في كل المتتابعات السابقة أن كل حد قسمة سابقه يساوي مقدار ثابت ، وهذا النوع من المتتابعات نسميه بالمتتابعات الهندسية . المتتابعة الهندسية: نقول أن {ح ن } متتابعة هندسية إذا وجد عدد ثابت ر بحيث ر = ح ن +1 ÷ ح ن ، لجميع قيم ن وتسمى ر أساس المتابعة . ملاحظات : 1-الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو : ح ن = أ رن - 1 ، حيث أ هو الحد الأول ، ر هو أساس المتتابعة . 2- الأوساط الهندسية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب . 3- إذا كانت الأعداد أ ، ب ، جـ في تتابع هندسي فإن ب يسمى الوسط الهندسي حيث : أ/ب = ب/جـ ← ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ×جـ . أمثلة : مثال(1) : قرر فيما إذا كانت المتتابعة التالية هندسية أم لا : 3 ، 6 ، 12 ،..... ؟ جواب(1) : المتتابعة هندسية لأن ح ن +1 ÷ ح ن = 2 ، لجميع قيم ن . مثال(2) : أوجد الحد العاشر في المتتابعة : 2/1،-2،1،.... ؟ جواب(2) : المتتابعة هندسية ، أ = 2/1 ، ر = -1 ÷ 2/1 = -2 ، إذن : ح10 = 2/1 × -92 = 2/1 × ( -512) = 256 مثال(3) : أوجد الوسط الهندسي للعددين 16 ، 9 ؟ . جواب(3) : الوسط الهندسي للعددين = زائد أو ناقص جذر 144 = زائد أو ناقص 12 . مثال(4) : إدخل أربعة أوساط هندسية بين العددين 486 ، 2 ؟ جواب(4) : أ= 486 ، ح6 = 2 ، ن = 6 ، بقي أن نوجد الأساس ر كما يلي : ح ن = أ رن - 1 2 =486 × ر6 - 1 ← ر5 = 486/2 ← ر5 = 243/1 ، لاحظ أن 243 = 53 ر5 = (3/1)5 ← ر = 3/1 468 × 3/1 = 162 ، 162 × 3/1 =54 ، وهكذا . إذن الأوساط الهندسية الأربعة هي : 162 ، 54 ، 18 ، 6 . (تذكر أن ر = ح ن +1 ÷ ح ن ) . ملاحظة : إذا كان عدد الأوساط المطلوبة فردي ، كأن يقول إدخل خمسة أوساط... ، فإن الأساس ر الذي توصلت إليه يكون زائد أو ناقص ، بمعنى أن يكون خمسة أوساط موجبة وأخرى سالبة . أعلم أنك تريد مثال ، لذا سأذكر المثال التالي : ++++* إدخل خمسة أوساط هندسية بين العددين 81 ، 9/1 ؟ جــ : أ= 81 ، ح7 = 9/1 ، ن = 7 ، ح ن = أ رن - 1 9/1 =81 × ر7 - 1 ← ر6 = 9/1 ÷ 81 ← ر6 = 729/1 ، لاحظ أن 729 = 63 ر6 = (3/1)6 ← ر =+ - 3/1 عندما ر= + 3/1 فإن الأوساط هي : 27 ، 9 ، 3 ، 1 ، 3/1 عندما ر= - 3/1 فإن الأوساط هي : -27 ، 9 ، -3 ، 1 ، -3/1 تمرين : 1- إدخل وسطين هندسيين بين العددين 9 ، -243 ؟ ( الحل : -27 ، 81) . 2- أوجد المتتابعة الهندسية التي يزيد حدها الثالث عن الثاني بمقدار 6 ، ويزيد الحد الرابع عن الثالث بمقدار 4 ؟ . ( -27 ، -18 ، -12 ، -8 ، ......) .

 

 

مشكور بس ممكن بالحروف الاتينية

 

 

صعب الكتابة بغير العربية

 

 

مشكور اخوي يعطيك العافية

 

 

سلمت يداك

 

 

بسم الله الرحمـــن الرحيم
مشكور يا أخ على هذه الدروس
ولكن أرجوا منكم كتابة الرموز باللغة الترميز الرياضي /الفرنسية.
لأننا في المغرب العربي ندرسه باللغة الفرنسية
و جزاكم الله عنا خير الجزاء

 

 

شكرا جزيلا بس يا ريت يبقى فى شرح وافى عن كده

 

 

الله يبارك فيك دنيا وآخرة

 

 

شكرا علي مرورك أخي الكريم وبارك الله فيك