اثبت
ان
1(!1)+2(!2)+3(!3)+ + + + 1000(!1000)=(!1001) - 1

 

 

سؤال جميل أخي أشرف

الحالة العامة:
ن!
=ن(ن-1)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-1)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-1)(ن-2)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-2)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-2)(ن-3)!
.
.
.
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+3!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+3(2!)
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+2!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+2(1!)
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+1(1!)+1

ومنه:
(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+1(1!)+1=ن!
أو:
(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+1(1!)=ن!-1

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته أخى أشرف
محاوله أتمنى أن تعجبك


( 2-1 ) ×1! + ( 3 - 1 ) ×2! + ( 4 - 1 ) × 3! + 00000 + ( 1001 -1000 ) × 1000!
= 2×1! - 1! + 3 ×2! - 2! + 4 × 3! - 3! + 000 + 1001 × 1000! - 1000!
= 2! - 1! + 3! - 2! +4! -3! + 0000 + 1001! - 1000!
= -1! + 1001! = 1001! -1

 

 

تعميم جميل جدا اخى العزيز حسام

العزيز امام انت تعجب الباشا ياباشا

شكرا لكما مشرفايا العزيزان

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل آخر رائع كإضافة لهذه الحلول الرائعة ... بفكر الأستاذ الفاضل / سامح الدهشان :

فكره أخري للحل :

1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 1 = 3 !
1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! + 1 = 4 !
وهكذا نصل الي الإثبات
1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ن × ن ! + 1 = ( ن + 1 ) !

لإثبات هذه القاعدة :

1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ن × ن ! = ( ن + 1 ) ! - 1
لجميع قيم ن الصحيحة الموجبة ...

العلاقه صحيحه عند ن = 1
بفرض صحة العلاقة عن ن = ك
أي أن 1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! = ( ك+ 1 ) ! - 1

نحاول إثبات صحة العلاقه عند ن = ك + 1
أي إثبات أن :
1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) ! = ( ك+ 2) ! - 1

الطرف الأيمن :

1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) !
= 1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) !
= ( ك + 1 ) ! - 1 + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) !
= ( ك + 2 ) × ( ك + 1 ) ! - 1
= ( ك + 2 ) ! - 1

اذن العلاقه صحيحه لكل ن = ك + 1
وبالتالي صحيحه لجميع قيم ن
بوضع ن = 1000 نحصل علي الإثبات المطلوب

وفق الله الجميع ... ،