1) باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي أثبت صحة العبارة الآتية لكل ن ' ص+



ن( ن + 1)

1 + 2 + 3 + ... + ن = ــــــــــــــــــــــــ

2

هذه المساواة والمكونة من طرفين الأيمن " مجموعة من الحدود " والأيسر قيمة تمثل مجموع حدود الطرف الأيمن

ح1 = 1 ، ح2 = 2 ، .... ، حن = ن

بوضع ن = 1 في الطرف الأيسر نحصل على 1 وهو الحد الأول

بوضع ن = 2 في الطرف الأيسر نحصل على 3 وهو مجموع الحدين الأول والثاني

بوضع ن = 3 في الطرف الأيسر نحصل على 6 وهو مجموع الحدود الثلاثة الأولى

وعليه يكون التعويض عن قيمة ن بعدد ما تعني أحد حدود الطرف الأيمن في حين التعويض في الطرف الأيسر تمثل قيمة

مجموع عدد من الحدود بقيمة ن فلو كانت ن = 4 يعني الحد الرابع في الطرف الأيمن في حين ناتج التعويض عنها في الطرف

الأيسر فالقيمة هي ناتج جمع الأربع حدود الأولى من الطرف الأيمن

لإثبات صحة العبارة نتبع الآتي:

1) نتأكد صحتها عند ن = 1

2) إذا كانت العبارة صحيحة في حالة ن = ر فإنها صحيحة في حالة ن = ر + 1

بوضع ن = 1

الطرف الأيمن = 1 (الحد الأول أو بوضع ن = 1 في الأيسر)

الطرف الأيسر = 1(1+1)/2 = 2/2 = 1

الطرفان متساويان ، أي أن العبارة صحيحة في حالة ن = 1 ونكتب ذلك اختصاراً ق(1) صحيحة ........ (1)

بفرض ن = ر صحيحة أي أن:

ر( ر + 1)

1 + 2 + 3 + ... + ر = ــــــــــــــــــــــــ ........... (2) عبارة صحيحة

2

المطلوب إثباته هو:



(ر + 1)[( ر + 1) + 1]

1 + 2 + 3 + ... + ر + (ر + 1) = ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ من وضع ر + 1 بدل ر في (2)

2



يلاحظ هنا زيادة حداً هو ر + 1 أي حر+1 في الطرف الأيمن وجعل ر في الأيسر ر + 1



بإضافة حر+1 لطرفي المساواة .... (2) لكونها صحيحة بالفرض حيث أن حر+1 = ر + 1



ر( ر + 1)

1 + 2 + 3 + ... + ر + (ر + 1)= ـــــــــــــــــــــــ + (ر + 1) وهي صحيحة أيضاً

2



ر( ر + 1) 2(ر + 1)

= ــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــ بالضرب في 2 والقسمة على 2 للحد الثاني

2 2



ر( ر + 1) + 2(ر + 1)

= ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ (ر + 1) عامل مشترك والجمع

2



( ر + 1)[ر + 2]

= ـــــــــــــــــــــــــ ــــــ ر + 2 = (ر + 1) + 1

2




( ر + 1)[(ر + 1) + 1]

= ـــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــ لاحظ ر+1مكان ر في الطرف الأيسر من (2)

2



إذن العبارة صحيحة في حالة ن = ر + 1 أو ق(ر + 1) صحيحة ......... (3)



من (1) ، (2) ، (3) تكون العبارة صحيح

مع اطيب التمنيات بالتوفيق للجميع

 

 

شكرا