منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

22-05-2009, 05:48 PM

بصراحة، نسيت الحل ، لكني عثرت على حل آخر أطرحه عليك .
سأخبرك بتقنية ممتازة و أرجو أن لا تنساها .

نظرية: إذا كان $a,b\in \mathbb{R}^+, p,q \in \mathbb{Z}^+$ فإن $(a^p-b^p)(a^q - b^q) \ge 0$ (ويمكن تعميمها).
البرهان: لأنهما يحملان نفس الإشارة .

الآن لدينا

$(x^6-y^6)(x^2-y^2) \ge 0 \Rightarrow x^8 + y^8 \ge x^2y^2(x^4+y^4)$

بالمثل:

$(x-y)(x^3 - y^3) \ge 0 \Rightarrow x^4 + y^4 \ge xy(x^2 + y^2)$

باستخدام المتفاوتتين نجد:

$\sum_{cyc} \frac{xy}{x^8 + y^8 + xy} \le \sum_{cyc} \frac{xy}{x^2y^2(x^4 + y^4) + xy}= \sum_{cyc} \frac{z}{x^4 + y^4 + z}\\ \le \sum_{cyc} \frac{z}{xy(x^2+y^2) + z} = \sum_{cyc} \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1$

انتهينا

.