تمهيدية (1) :
لنفترض أن (x,y,z) ثلاثي فيثاغورث أولي أي 1=(x,y,z)
أثبت أن الأعداد x,y,z هي أولية نسبياً مثنى مثنى .
تمهيدية (2) :
إذا كان (x,y,z) ثلاثي فيثاغورث وكان x,y,z)= d)
فإن (x0,y0,z0) هو ثلاثي فيثاغورث أولي حيث :
x=x0d , y=y0d , z=z0d
تمهيدية (3) :
إذا كان ثلاثي فيثاغورث (x,y,z) أولياً
فإن أحد العددين x,y فردي والآخر زوجي .
تمهيدية (4) :
إذا كان ab=cn حيث 1=(a,b)
فإنه يوجد a1,b1 بحيث
a=a1n
b=b1n
مبرهنة :
إن جميع الحلول الصحيحة غير الصفرية لمعادلة فيثاغورث
x2+y2=z2 حيث y عدد زوجي و 1=(x,y,z) تعطى بالعلاقات :
(x=(r2-s2
y=2rs
(z=(r2+s2
حيث r,s أعداد صحيحة غير صفرية و 1 =(s,r) ,
s,r أحدهما فردي والآخر زوجي .
(نحصل على جميع ثلاثيات فيثاغورث بأن نضرب قيم x,y,z بالعدد الصحيح الغير صفري k) .
أثبت التمهيديات والمبرهنة السابقة بالاستفادة من :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=4102