اولمبياد 1972 Usa .

02-06-2008, 12:35 AM

$a$ و $b$ و $c$ اعداد صحيحة طبيعية موجبة , بين ان :

$\frac{(a \:\wedge\: b \:\wedge\: c)^2}{(a\:\wedge \:b)(b\:\wedge \:c)(c\:\wedge\: a)}\:=\:\frac{(a \:\vee \:b \:\vee \:c)^2}{(a\:\vee \:b)(b\:\vee \:c)(c\:\vee \:a)}$

حيث :

$x \:\wedge \:y$ القاسم المشترك الكبر للعددين $x$ و $y$

$x \:\vee \:y$ المضاعف المشترك الاصغر للعددين $x$ و $y$

07-02-2009, 12:58 PM

() تعني العامل المشترك الأكبر ، [] تعني المضاعف المشترك الأصغر.
المسألة تكافئ:

$(a,b,c)^2 [a,b][b,c][c,a] = [a,b,c]^2(a,b)(b,c)(c,a)$

إذا حللنا الاعداد إلى عواملها الأولية فإن العامل المشترك الأكبر يعني أصغر أس لكل عامل أولي ، و المضاعف المشترك الأصغر يعني أكبر أس.

بفرض أن $\alpha_i, \beta_i , \gamma_i$ تعني أس العامل الأولي رقم $i$ للأعداد $a,b,c$ على الترتيب. نجد أن المسألة تكافئ أيضا:

$2 \min(\alpha_i, \beta_i, \gamma_i) + \max(\alpha_i, \beta_i) + \max(\beta_i, \gamma_i) + \max(\gamma_i, \alpha_i) = 2 \max(\alpha_i, \beta_i, \gamma_i) + \min(\alpha_i, \beta_i) + \min(\beta_i, \gamma_i) + \min(\gamma_i, \alpha_i)$

وبدون فقد لعمومية المسالة نفرض أن : $\alpha_i \le \beta_i \le \gamma_i$ . بالتالي : فإن كلا الطرفين متساويين و كل منهما يساوي $2\alpha_i + \beta_i + 2\gamma_i.$ وهو المطلوب.

والله أعلم.

07-02-2009, 10:40 PM

السلام عليكم

ما شاء الله عليك ، حلك جميل و مبدع

شكرا لك.

14-02-2009, 03:33 PM

شكرا جزيلا لكني اود حقا معرفة كيف انك توصلت مكافئة المسالة -مثلا لن اعرف لماذا كتبت max 2
و شكرا مرة اخرى على المسالة

14-02-2009, 05:33 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ايمان94 [ مشاهدة المشاركة ]

شكرا جزيلا لكني اود حقا معرفة كيف انك توصلت مكافئة المسالة -مثلا لن اعرف لماذا كتبت max 2
و شكرا مرة اخرى على المسالة

حياك الله و بياك

من تعريف القاسم المشترك الأكبر. حيث $p_i$ عدد أولي.

$\gcd \left(\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}, \prod_{i=1}^np_i^{l_i} \right)=\prod_{i=1}^np_i^{\min\{k_i,l_i\}}\\ \mathrm{lcm} \left(\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}, \prod_{i=1}^np_i^{l_i} \right)=\prod_{i=1}^np_i^{\max\{k_i,l_i\}}$

15-02-2009, 01:24 AM

شكرا جزيلا. بارك الله فيك و جزاك كل خير.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة