جبر 1

22-08-2007, 03:01 AM

اثبت ان

جميع اعداد هذه المتتابعة مربع كامل

49 و 4489 و 444889 و 44448889 و4444488889 و.........

11-05-2009, 08:49 PM

أعتقد أن هذه سهلة جدا.

لكن نتريث قبل أن نحلها.

12-05-2009, 07:42 AM

صدقت ، هي سهلة

لدينا أن الحد العام هو $( \forall n \ge 1 )$

$h_n = 4 \cdot 10^n \cdot \left( \frac{10^n - 1}{9} \right) + 8 \cdot 10 \cdot \left( \frac{10^{n-1} -1}{9} \right) + 9$

$= \frac{1}{9} \cdot \left( 4 \cdot 10^{2n} - 4\cdot 10^n+ 8 \cdot 10^n - 80 + 81 \right)$

$= \frac{1}{9} \cdot \left( 4 \cdot 10^{2n} + 4 \cdot 10^n + 1 \right) = \left( \frac{2 \cdot 10^n + 1}{3} \right)^2$

وهذا الكسر الأخير عبارة عن عدد صحيح لأن

$2\cdot10^n + 1 \equiv (-1) \cdot 1^n + 1 \equiv 0 \pmod 3$

12-05-2009, 09:42 AM

السلام عليكم
ما رأيكم في هذا الحل

12-05-2009, 10:28 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi [ مشاهدة المشاركة ]

صدقت ، هي سهلة

لدينا أن الحد العام هو $( \forall n \ge 1 )$

$h_n = 4 \cdot 10^n \cdot \left( \frac{10^n - 1}{9} \right) + 8 \cdot 10 \cdot \left( \frac{10^{n-1} -1}{9} \right) + 9$

$= \frac{1}{9} \cdot \left( 4 \cdot 10^{2n} - 4\cdot 10^n+ 8 \cdot 10^n - 80 + 81 \right)$

$= \frac{1}{9} \cdot \left( 4 \cdot 10^{2n} + 4 \cdot 10^n + 1 \right) = \left( \frac{2 \cdot 10^n + 1}{3} \right)^2$

وهذا الكسر الأخير عبارة عن عدد صحيح لأن

$2\cdot10^n + 1 \equiv (-1) \cdot 1^n + 1 \equiv 0 \pmod 3$

بارك الله فيك، هذا هو الحل النموذجي،

لدي سؤال أستاذ وائل، هل يجب علينا برهنة ان $\left( \frac{2 \cdot 10^n + 1}{3} \right)$ عدد صحيح ؟ لأن $\left( \frac{2 \cdot 10^n + 1}{3} \right)^2 = h_n$ .

اقتباس :

السلام عليكم
ما رأيكم في هذا الحل

يبدو أنك نسيت الحل.

12-05-2009, 10:37 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

بارك الله فيك، هذا هو الحل النموذجي،

لدي سؤال أستاذ وائل، هل يجب علينا برهنة ان $\left( \frac{2 \cdot 10^n + 1}{3} \right)$ عدد صحيح ؟ لأن $\left( \frac{2 \cdot 10^n + 1}{3} \right)^2 = h_n$ .

بالتأكيد ما يحتاج

بس زيادة الخير خيرين

13-05-2009, 01:11 AM

السلام عليكم
أنا لم أنس الحل ولكن يبدو أن الرابط حدث به مشكلة
سأعاود المحاولة

13-05-2009, 10:34 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة aty wafa [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم
أنا لم أنس الحل ولكن يبدو أن الرابط حدث به مشكلة
سأعاود المحاولة

شكرا لك كثيرا استاذى الكريم

لكن هل لك ان توضح قليلا طريقة الحل

13-05-2009, 11:38 PM

السلام عليكم
أخي الأستاذ أشرف عن طريق الاستقراء الرياضي وجدت كيف نكون كل حد من الحد السابق له ووجدت أن كل الحدود المستنتجة عبارة عن أقواس مربعة . بالضبط كما يحاول آخرون استنتاج الحد العام ويثبت أنه مربع كامل
أتمنى أن أكون فهمت ما تقصد ووفقت في الرد عليه


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة