تمرين (20)

نعلم أن معادلة الدرجه الثانيه فى متغير واحد هى :
أس^2 + ب س + جـ = 0 ، أ=/= 0

أثبت أن هذه المعادله يمكن كتابتها على الصوره :
س^2 - ( مجموع الجذرين) س + حاصل ضربهما = 0


أس^2 + ب س + جـ = 0

بالقسمة على أ

س^2 + (ب/أ)*س + (ج/أ) = 0 ..................(1)

نفرض أن جذرى المعادلة هما : ل ، ع

(س _ ل)*(س - ع) = 0

س^2 - ل*س - ع*س + ل*ع = 0

س^2 - (ل + ع)*س + ل*ع = 0 ...................(2)

من (1) ، (2)

ب/ا = - (ل + ع) = - (مجموع جذرى المعادلة)

ج/أ = ل*ع = حاصل ضرب جذرى المعادلة

فتكون المعادلة على الصورة :

س^2 - (مجموع الجذرين)* س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

 

 

تمرين (21)

إذا كونت س ، ص ، ع متوالية هندسية
وكونت : س ، س+ ص ، س + ع متوالية حسابية
إثبت أن : س : ص : ع = 1 : 2 : 4


ص^2 = س*ع
2*(س + ص) = س + (س + ع) ... ومنها : 2 ص = ع

ص^2 = س*(2 ص) ............. ومنها : ص = 2 س

إذن : ع = 4 س

ويكون : س : ص : ع = س : 2 س : 4 س = 1 : 2 : 4

 

 

تمرين (22)

إذا كان أ ، ب ، جـ تكون متوالية عددية
وكان : أ ، س ، ص ، جـ تكون متوالية هندسية
إثبت أن : س^3 + ص^3 = 2 ب س ص


2 ب = أ + ج
س*ص = أ*ج

2 ب*س*ص = أ*ج (أ + ج) = ج*أ^2 + أ*ج^2

فى المتوالية الهندسية :

نفرض أن : س = أ*ر ، ص = أ*ر^2 ، ج = أ*ر^3

س^3 + ص^3 = أ^3 × ر^3 + أ^3 × ر^6

= [أ^2 × أ ر^3] + [أ × (أ ر^3 )^2] = ج*أ^2 + أ*ج^2

= 2 ب*س*ص

 

 

تمرين (23)

إذا كانت الحدود الذي رتبتها 2 ، 6 ، 22 من متوالية عددية في توالي هندسي
إثبت أن الحدود الذي رتبتها : 3 ، 10 ، 38 من نفس المتوالية العددية
تكون في توالي هندسي أيضا ً


نفرض أن المتوالية العددية هى :

أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، .... ، (أ + (ن - 1)*د)

(أ + 5 د)^2 = (أ + د) (أ + 21 د)

ومنها : د = 3 أ

ح3 = (أ + 2 د) = 7 أ
ح10 = (أ + 9 د) = 28 أ
ح38 = (أ + 37 د) = 112 أ

ح10 / ح3 = 4
ح38 / ح10 = 4

إذن : ح3 ، ح10 ، ح38 فى توالى هندسى

 

 

تمرين (24)

إذا كان جـ هو مجموع ن من الحدود في متوالية هندسية

و ص هو حاصل ضرب هذة الحدود

و م مجموع مقلوبات هذة الحدود

إثبت أن ( جـ / م )^ن = ص^2



ج = أ + أ*ر + أ*ر^2 + ... + أ*ر^(ن - 1) = أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)

ص = أ × أ ر × أ ر^2 × ... × أ ر^(ن - 1) = أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]

م = 1/أ + 1/أ ر + ... + 1/أ ر^(ن - 1) = 1/أ*[1 + 1/ر + ... + 1/ر^(ن - 1)
= 1/أ*[(1 - (1/ر)^ن)/(1 - 1/ر)] = [(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]

ص^2 = [أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]^2 = أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1)]

(ج / م)^ن = [[أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)] ÷ [[(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]]^ن
= أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1))

 

 

تمرين (25)

إذا كان : ل^2 ، م ^2 ، م^4 - ل^2

في تتابع هندسي فأثبت أن م^2 > 2



م^2 هو الوسط الهندسى للعددين ل^2 ، (م^4 - ل^2)

الوسط الحسابى = 1/2*(ل^2 + م^4 - ل^2) = 1/2*م^4

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى
(للأعداد الموجبة)

وحيث أن الأعداد هى مربعات أعداد ، فتكون موجبة وينطبق عليها متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى


إذن :

1/2*م^4 > م^2

م^2 > 2

 

 

تمرين (26)

إذا كانت 3 أ ، 3 ب - أ ، 2 ب في تتابع حسابي

فأثبت أن : أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ ب


بشرط أن يكون كل من : 3 أ ، 2 ب أعداد موجبة
فيمكن تطبيق متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى لهما

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى

3 ب - أ > جذر(6*أ*ب)

بالتربيع لكلا الطرفين

أ^2 + 9 ب^2 - 6*أ*ب > 6*أ*ب

أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ*ب

 

 

تمرين (27)

س ، ص ، ع ثلاثة أعداد حقيقية مختلفه مجموعها = 30

إذا أخذت الأعداد بالترتيب : س ، ص ، ع فأنها تكون متتابعة حسابية

وإذا أخذت بالترتيب س ، ع ، ص فانها تكون متتابعة هندسية

أوجد الأعداد الثلاثة


س + ص + ع = 30 ............. (1)

2 ص = س + ع ................ (2)

ع^2 = س × ص ................ (3)

من (1) ، (2)

ص = 10

س = 20 - ع

بالتعويض فى (3)

ع^2 = 10 × س = 10 × (20 - ع) = 200 - 10 ع
ع^2 + 10 ع - 200 = 0

ع = 10 ـــــــــــــــ> س = 10

أو

ع = - 20 ـــــــــــــ> س = 40

وهى لا تحقق الشروط

الأعداد هى :
س = 10 ، ص = 10 ، ع = 10

 

 

تمرين (28)

باع رجل حصانا بمبلغ 72 جنيها فوجد ان خسارته في المائة تساوي 1/8 عدد الجنيهات التي دفعها ثمنا للحصان .فبكم اشتري الحصان ؟



نفرض أن ثمن الشراء = س جنيها

قيمة الخسارة بالجنيه ( مع إهمال الاشارة السالبة ) = ثمن الشراء - قيمة البيع = س - 72 جنيها

النسبة المئوية للخسارة = [( قيمة الخسارة ) ÷ ( ثمن الشراء )] × 100 = [(س - 72)/(س)]×100

وهى تساوى 1/8 * ثمن الشراء

إذن :

[(س - 72)/(س)]×100 = س/8

س^2 - 800 س + 800×72 = 0

(س - 80)(س - 720) = 0

س = 80 أو س = 720

والقيمتان تحققان الشروط

وبالرغم من زيادة قيمة الخسارة بالجنيه عندما يكون ثمن الشراء 720 جنيه حيث = 720 - 72 = 648 جنيه

إلا أنه منطقى فقد يكون الحصان المباع مريضا أو هزيلا ففقد نفعه ، وتم بيعه لحديقة الحيوان لاطعام السباع مثلا .

أما عن ثمن الشراء بمبلغ 80 جنيه فهو لا يتناسب مع السعر المتداول بالسوق ، وقد يجوز أن يكون بأسعار منذ 30 عاما فأكثر

والله أعلم

 

 

تمرين (29)

حوض يمكن ان تملأه حنفيتان في 100/3 من الدقائق فاذا كانت الحنفية الكبري تملأ الحوض في زمن اقل مما تملؤه فيه الصغري بمقدار 15 دقيقة .فما مقدار الزمن الذي تملأ كل منهما فيه الحوض بمفردها؟


نفرض أن :

حجم الحوض = (ح) لتر
معدل الملأ للحنفية الكبرى = (ك1) لتر/دقيقة
معدل الملأ للحنفية الصغرى = (ك2) لتر/دقيقة

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = ن1 دقيقة = ح/ك1 ... ، ومنها : ك1 = ح/ن1

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = ن2 = ح/ك2 دقيقة ... ، ومنها : ك2 = ح/ن2

ن1 = ن2 - 15

الزمن اللآزم لملأ الحوض بكلتا الحنفيتان فى نفس الوقت = 100/3 دقيقة = ح/(ك1 + ك2)

100/3 = ح/[(ح/ن1) + (ح/ن2)] = (ن1 × ن2) ÷ (ن1 + ن2)

3×ن1×ن2 = 100×ن1 + 100×ن2

3×(ن2 - 15)×ن2 = 100×(ن2 - 15) + 100×ن2

3(ن2)^2 - 45(ن2) = 100(ن2) - 1500 + 100(ن2)

3(ن2)^2 - 245(ن2) + 1500 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد ، ينتج :

ن2 75 دقيقة أو ن2 = 20/3 دقيقة

عند ن2 = 75 ـــــــ> ن1 = 75 - 15 = 60 دقيقة

عند ن2 = 20/3 ـــــ> ن1 = 20/3 - 15 = - 25/3 ( مرفوضة)

ويكون :

زمن ملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = 60 دقيقة
زمن ملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = 75 دقيقة

للتحقق :

زمن ملأ الحوض بالحنفيتان سويا = (60×75) ÷ (60 + 75) = 100/3 دقيقة