تمرين (49)

 

 

تمرين (50)

أ ب جـ مثلث فيه أ ( 2 ، 5 ) ، ب ( 1 ، 8 ) ، جـ ( 5 ، 6 )
أوجد معادلة المنصف الداخلى للزاويه ب

للتحقق :

ظا2هـ = (م1 - م2)م(1 + م1*م2) = 1
2هـ = 45 درجة
هـ = 22.5 درجة
ظاهـ = 0.4142

ظاهـ = (م1 - م)/(1 + م1*م) = 0.4142
حيث م = ميل المنصف = - 1.153

لاثبات أن نقطة د تقسم الضلع ب ج من الداخل :

معادلة المنصف : ص = - 1.153 س + 9.15 ... ... ... (1)
معادلة الضلع أ ج :
(6 - 5)/(5 - 2) = (ص - 5)/(س - 2)
3 ص = س + 13 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (2)
بحل المعادلتين (1) ، (2)
نقطة د : ( 3.247 ، 5.415 )
وهى تقع على أ ج وتقسمه من الداخل حيث أ : ( 2 ، 5 ) ، ج : ( 5 ، 2 )

 

 

تمرين ( 51 )


أب جـ د متوازى اضلاع فية أ(5, 3), ب(3, 2) ,جـ (0 ,2) فاوجد احداثيات نقطة د

نفرض أن احداثى نقطة د هى : س ، ص

ميل ب أ = [3 - 2]/[5 - 3] = 1/2
ميل ج د = [ص - 2]م[س - 0] = (ص - 2)/س
وحيث ميل ج د = ميل ب أ
(ص - 2)/س = 1/2
2 ص - 4 = س

طول ب أ = جذر[(5 - 3)^2 + (3 - 2)^2] = جذر5
طول ج د = جذر[(س - 0)^2 + (ص - 2)^2 = جذر[س^2 + ص^2 - 4 ص + 4]
وحيث طول ج د = طول ب أ
وبالتعويض عن قيمة س بدلالة ص
(2 ص - 4)^2 + ص^2 - 4 ص + 4 = 5
5 ص^2 - 20 ص + 15 = 0
ص = 3 أو ص = 1
وحيث : 2 ص - 4 = س
عند ص = 3 ــــــــــــــــ> س = 2
عند ص = 1 ــــــــــــــــ> س = -2
فتكون نقطة د : إما (2 ، 3) أو (- 2 ، 1)

فى حالة د : (2 ، 3)
ميل ج د = (3 - 2) / (2 - 0) = 1/2
فى حالة د : (- 2 ، 1)
ميل ج د = (1 - 2) / (2 - 0) = - 1/2
وحيث أن ميل ج د = ميل ب أ = 1/2
فتكون النقطة د : (2 ، 3)

لتحقيق الشرطان الآخران : أ د يساوى ويوازى ب ج

طول ب ج = جذر[(0 - 3)^2 + (2 - 2)^2] = جذر9 = 3
ميل ب ج = (2 - 2)/(0 - 3) = 0 ... موازى لمحور السينات

عند د : (2 ، 3)
طول أ د = جذر[(2 - 5)^2 + (3 - 3)^2] = جذر9 = 3
ميل أ د = (3 - 3)/(2 - 5) = 0

عند د : (- 2 ، 1)
طول أ د = جذر[(- 2 - 5)^2 + (1 - 3)^2] = جذر 53
ميل أ د = (1 - 3)/(- 2 - 5) = 2/7

فتكون النقطة د التى تحقق الشروط هى : (2 ، 3)

تنويه :

يوجد للنقطة د ثلاث احتمالات :

الأولى : (2 ، 3)
تحقق الشروط الأربعة ، وتكون هى الرأس الرابع لمتوازى الأضلاع

الثانية : (- 2 ، 1)
وهى تحقق الشرطان الأولان فقط :
"ج د توازى وتساوى ب أ" ، إلا فى حالة اعتبار الاتجاهات حيث تقع على الجانب الآخر للضلع ب ج
وهى الموجودة فى طريقة الحل السابقة حيث ابتدأنا بتحقيق الشرطان الأولان

الثالثة : (8 ، 3)
وهى تحقق الشرطان الأخيران فقط :
"أ د توازى وتساوى ب ج" إلا فى حالة اعتبار الاتجاهات حيث تقع على الجانب الآخر للضلع ب أ
وهى تنتج فى حال الحل بالبدء فى تحقيق الشرطان الأخيران


حل بسيط فى مستوى طالب المرحلة الاعدادية :

قطرى متوازى الأضلاع أ ج ، ب د يتقاطعان فى نقطة تنصف كلا منهما

احداثى نقطة تقاطع القطران :

من حيث أنها منتصف أ ج : [(5 + 0)/2 ، (3 + 2)/2] = [5/2 ، 5/2]

من حيث أنها تنصف ب د : [(3 + س)/2 ، (2 + ص)/2]

إذن :

5/2 = ( 3 + س)/2 ، ومنها س = 2
5/2 = (2 + ص)/2 ن ومنها ص = 3

فتكون نقطة د هى : (2 ، 3)

 

 

تمرين (52)

أوجد معادلة مسار نقطة تتحرك بحيث يظل بعدها عن
النقطة (2 ، 3 ) بساوي ضعف بعدها عن المستقيم
الذي معادلته ص = 3


جذر[(س - 2)^2 + (ص - 3)^2] = 2*(ص - 3)

وتكون معادلة المسار هى :

س^2 - 3 ص^2 - 4 س + 18 ص - 23 = 0

 

 

تمرين (53)


اذا كانت أ(9,2) , ب(ـــ 2 ,6) , جـ(2,1) 3 نقط من نقط متوازى اضلاع الاربعة أ , ب , جـ , د
اوجد احداثيات النقطة د فى الحالات الاتية
أولا:أ ب جـ د متوازى اضلاع
ثانيا: أب د جـ متوازى اضلاع
ثالثا أد ب جـ متوازى اضلاع

 

 

تمرين (54)

 

 

لماذا لا تنطبق قاعدة حاصل ضرب ميلين مستقيمين متعامدين على ..

الجواب

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
من المعروف أن ميل أى مستقيم يوازى محور السينات = صفر
وميل اى مستقيم يوازى محور الصادات غير معرف
لماذا لاتنطبق على هذين المستقيمين قاعدة حاصل ضرب ميلى المستقيمين المتعامدين = ــ 1
أم أن هذه حاله خاصه للمستقيمين المتعامدين ،
الرجا من الإخوه الزملاء تفسير هذه الحاله من حالات تعامد مستقيمين

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

قاعدة حاصل ضرب ميلي المستقيمين المتعامدين = - 1
ليست قاعدة عامة ، ولكنها ناشئة عن استنتاج من النسب المثلثية المتعارف عليها - باستخدام دائرة الوحدة

ظا هـ = 1 / ظتاهـ
ظاهـ × ظتاهـ = 1

وحيث أن ميل العمودى على مستقيم ميله ظاهـ =
= ظا( 90 + هـ ) = - ظتا هـ = - 1 / ظاهـ

الاستنتاج : ظاهـ × ظا(90 + هـ) = - 1
بشرط : هـ لا تساوى 0

حيث : ظا0 = 0/1 = 0 ، ظا(90 + 0) = ظا90 أو = ظتا0 = 1/0 = غير معرف أو مالانهاية جبريا

وبالتالى لا يوجد فى النسب المثلثية قيمة لـ ظا90


وكذلك القاعدة المستنتجة من علاقة النسب المثلثية

جاهـ × قتاهـ = 1
جتاهـ × قاهـ = 1

والزوايا التى تنتهى على أحد محورى السينات أوالصادات

مثل : 0 ، 90 ، 180 ، 270 ، 360 ، ...
وكذلك : - 90 ، - 180 ، - 270 ، - 360 ، ..

هى حالات خاصة لا تنطبق عليها الاستنتاجات للعلاقة بين النسب المثلثية

فمثلا :

جا0 = 0/1 = 0
قتا0 = 1/0 = غير معرفة وبالتالى لا يوجد فى النسب المثلثية قتا0
إذن : جا0 × قتا0 لا تساوى 1

جا90 = 1/0 = غير معرفة وبالتالى لا توجد فى النسب المثلثية جا90

جتا90 = 0
قا90 = 1/0 = غير معرفة وبالتالى لا توجد فى النسب المثلثية قا90
إذن : جتا0 × قا0 لا تساوى 1

 

 

تمرين ( 55 )

 

 

تمرين ( 56 )

 

 

تمرين ( 57 )