سؤال من الأولمبياد التركي (حساب مثلثات)

02-02-2008, 02:50 PM

السلام عليكم إخواني الأعزاء.
لفت إنتباهي سؤال من الأولمبياد التركي وبصراحة كان سؤال صعباً رغم أنهم كتبوا إرشاداً تحته. إليكم السؤال :
أثبت أن :

(إرشاد : إستخدم دي مويفر )

02-02-2008, 04:12 PM

لنبين ان $cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}=\frac{1}{8}$
$(\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{2}sin{\frac{2\pi}{7}}cos{\frac{2\pi}{7}}cos{\frac{3\pi}{7}}$
$\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{4}sin{\frac{4\pi}{7}}cos{\frac{3\pi}{7}}$
$\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}(sin{\frac{7\pi}{7}}+sin{\frac{\pi}{7}})$
[img]http://www.uaemath.com/cgi-bin/mimetex.cgi?
\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}(sin{\pi}+sin{\frac{\pi}{7}})[/img]

$\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}sin{\frac{\pi}{7}}$

$\Rightarrow (\lambda); cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}$
لان $sin{\frac{\pi}{7}}$ يخالف 0.
لا اعرف صيغة دي موافر لدا لم استعملها

02-02-2008, 04:20 PM

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ...

هناك فكرة ولكن ليست باستخدام نظرية ديموافر

بضرب الطرف الأيسر بسطاً ومقاماً في

واستخدام قاعدة ضعف جيب الزاوية

ثلاث مرات متتالية ينتج المطلوب ...

إن أردت الحل بهذه الطريقة سأعرضه مفصلاً ..إن شاء الله

وفقك الله ...،

02-02-2008, 04:55 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

لنبين ان $cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}=\frac{1}{8}$
$(\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{2}sin{\frac{2\pi}{7}}cos{\frac{2\pi}{7}}cos{\frac{3\pi}{7}}$
$\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{4}sin{\frac{4\pi}{7}}cos{\frac{3\pi}{7}}$
$\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}(sin{\frac{7\pi}{7}}+sin{\frac{\pi}{7}})$
[img]http://www.uaemath.com/cgi-bin/mimetex.cgi?
\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}(sin{\pi}+sin{\frac{\pi}{7}})[/img]

$\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}sin{\frac{\pi}{7}}$

$\Rightarrow (\lambda); cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}$
لان $sin{\frac{\pi}{7}}$ يخالف 0.
لا اعرف صيغة دي موافر لدا لم استعملها

عذراً أخي ياسين لم أفهم المكتوب!

02-02-2008, 05:04 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Amel2005 [ مشاهدة المشاركة ]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ...

هناك فكرة ولكن ليست باستخدام نظرية ديموافر

بضرب الطرف الأيسر بسطاً ومقاماً في

واستخدام قاعدة ضعف جيب الزاوية

ثلاث مرات متتالية ينتج المطلوب ...

إن أردت الحل بهذه الطريقة سأعرضه مفصلاً ..إن شاء الله

وفقك الله ...،

الأستاذة الفاضلة أمل بعد التحية أرجو توضيح الحل مع جزيل الشكر.

02-02-2008, 06:45 PM

اليك السطر الخامس اخي فهد ريثما تضهر الرموز .
اختي امل لدينا نفس الافكار في الحل شكرا لكما.
$\Rightarrow (\lambda); sin{\frac{\pi}{7}}\times cos{\frac {\pi}{7}} cos{\frac {2\pi}{7}} cos{\frac {3\pi}{7}}= \frac{1}{8}(sin{\pi}+sin{\frac{\pi}{7}})$

02-02-2008, 08:03 PM

مشكورين يا أستاذ ياسين ويا أستاذه أمل. فقد تمكنت خلال الضرب في بسطاً ومقاماً وتحويل
[img]

إلى المطلوب
شكراً لكما للفائدة ودمتم.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة