متفاوتة س ع ص

مقران · 22-08-2007, 02:43 PM

لتكن س.ع.ص ثلاثة اعداد حقيقية موجبة تماما تحقق :
س+ع+ص=س ع ص
برهن ان من اجل كل عدد حقيقي ز>0فان:
س ^ز+ع ^ز+ص ^ز>او=3^(ز+2)/2

نص المسألة بالرموز العالمية :

$x$ و $y$ و $z$ أعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث $x+y+z=xyz$ .

بين أن لكل عدد حقيقيي موجب قطعا $t$ لدينا $x^t+y^t+z^t \ge 3^{\frac{t+2}{2}}$

24-08-2007, 12:01 AM

نص المسألة بالرموز العالمية :

$x$ و $y$ و $z$ أعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث $x+y+z=xyz$ .

بين أن لكل عدد حقيقيي موجب قطعا $t$ لدينا $x^t+y^t+z^t \ge 3^{\frac{t+2}{2}}$

المسألة بسيطة يكفي استخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي .

مقران · 24-08-2007, 02:33 PM

لم افهم ارجو ان تحلها لي يا صديقي

24-08-2007, 05:56 PM

باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لثلاثة أعداد : $x+y+z \ge 3(xyz)^{\frac{1}{3}}$

وبما أن $xyz=x+y+z$ فإن $xyz \ge 3(xyz)^{\frac{1}{3}}$

إذن : $(xyz)^{\frac{2}{3}}\ge 3$

ومنه : $xyz \ge 3^{\frac{3}{2}}$ ولتكن هذه المتفاوتة $1$

من جهة أخرى وباستخدام دائما متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي :

$x^t+ y^t+ z^t\ge 3\sqrt[3]{{x^t y^t z^t }}$

أي : $x^t+ y^t+ z^t\ge 3(xyz)^{\frac{t}{3}}$

وباستخدام المتفاوتة $1$ نتوصل إلى : $x^t+ y^t+ z^t\ge 3 \times (3^{\frac{3}{2}} )^{\frac{t}{3}}$

وبالتالي : $x^t+ y^t+ z^t\ge 3 \times 3^{\frac{t}{2}}= 3^{\frac{{t + 2}}{2}}$

مقران · 27-08-2007, 12:10 PM

فعلا اشكرك على اهتمامك بالتمرين
ساعطيك تمرينا اخرا اسمه "مربع = مثلث"بالبرتقال


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة