مسألة في الأفق

06-04-2008, 08:52 PM

أثبت أن : إذا كان ب , جـ عددين حقيقيين موجبين بحيث :
ب+ جـ = 1 فإن ( ب + 1/ب )^2 + (جـ + 1/جـ )^2 > 12.5
( أو يساوي )

06-04-2008, 09:33 PM

مسالة بسيطة سبق و عرض مثلها

للبرهنة نحتاج متفاوتة اخرى : $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

للبرهنة عليها يكفي استخدام متفاوتة الوسط التوافقي و الحسابي
$sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \geq \frac{x+y}{2}$

بالتعويض نجد $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}{2}^2$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(1+\frac{a+b}{ab})}{2}^2$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(1+\frac{1}{ab})}{2}^2$

و نعلم ان $\frac{(a+b)^2}{ab}\geq 4$

$\Rightarrow\frac{1}{ab}\geq 4$

$\Rightarrow 1+ \frac{1}{ab}\geq 5$

$\Rightarrow (1+ \frac{1}{ab})^2\geq 25$

$\Rightarrow \frac{(1+ \frac{1}{ab})^2}{2}\geq\frac{25}{2}$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq\frac{(1+ \frac{1}{ab})^2}{2}\geq\frac{25}{2}$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq\frac{25}{2}$

وهو المطلوب

06-04-2008, 09:59 PM

يا سلام على الحل المثالي
تستحق لقب أستاذ عن جدارة
بارك الله فيك

07-04-2008, 06:29 AM

أشكرك اخي ياسين على الحل وانتظر حلول بطرق اخرى
( المتباينه الحسابية الهندسيه )


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة