ترسنة متفاوتات 1

11-05-2008, 06:31 PM

السلام عليكم و رحمة الله.
أقدم لكم هده الترسنة المثلثية.
في كل ما يلي: a ,b , c أضلاع مثلث، و A, B ,C الزوايا المقابلة لها.
و R , r مركزي الدائرة المحاطة و المحيطة بالمثلث.
و S مساحة المثلث.
بين ما يلي:

13-06-2008, 02:05 PM

السلام عليكم و رحمة الله وبركاته

اهلا اخي محمد ، هذا اثبات للمتفاوتة الثالتة :

$p$ نصف محيط المثلت

$r$ شعاع الدائرة المحاطة بالمثلت
$R$ شعاع الدائرة المحيطة بالمثلت .

الشعاع هو نصف القطر.

نعلم ان :

$\frac{abc}{4R} = pr$

$\Rightarrow \frac{abc}{2p} = 2Rr$

$\Rightarrow \frac{abc}{a+b+c} = 2Rr$

$\Rightarrow \frac{3}{2Rr} = \frac{3(a+b+c)}{abc}$

المتفاوتة المراد اثباتها تصبح :

$\frac{1}{a}\:+\:\frac{1}{b}\:+\:\frac{1}{c} \: \geq \: \sqrt {\frac{3(a+b+c)}{abc}}$

$ab+bc+ca \geq \sqrt{3abc(a+b+c)}$

نرفع للمربع كلا من الطرفين فنجد :

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \:\geq \: bca^2+cab^2+abc^2$

بقسمة الطرفين على $abc$ نجد :

$\frac{bc}{a}\:+\:\frac{ca}{b}\:+\:\frac{ab}{c} \: \geq \: a+b+c$

نبرهن على المتفاوتة الاخيرة :

لدينا حسب AM-GM :

$\frac{bc}{a}\:+\:\frac{ca}{b}\: \geq \: 2c$

$\frac{ca}{b}\:+\:\frac{ab}{c}\: \geq \: 2a$

$\frac{ab}{c}\:+\:\frac{bc}{a}\: \geq \: 2b$

بجمع المتفاوتات طرفا بطرف و قسمة كلا الطرفين على $2$ نجد ان :

$\frac{bc}{a}\:+\:\frac{ca}{b}\:+\:\frac{ab}{c} \: \geq \: a+b+c$

بما أن المفاوتة الاخيرة صحيحة فانه حسب مبدأ التكافؤات المتتالية ، المتفاوتة الاولى صحيحة و بالتالي :

$\frac{1}{a}\:+\:\frac{1}{b}\:+\:\frac{1}{c} \: \geq \: \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة