اولمبياد 2007 1bsm.

19-01-2008, 03:57 PM

aوbوc اعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث
بين ان

25-05-2009, 02:17 PM

يمكن فرض أن $a=\frac xy, b=\frac yz, c= \frac zx$ (لأن حاصل الضرب = 1)، الآن نعلم أن:

$\sqrt{x(x+2y+2z)} \le x+y+z$

بقلب الطرفين:

$\frac 1{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \frac 1{x+y+z}$

بالضرب في $x$ نجد:

$\frac x{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \frac x{x+y+z}$

هذا يعني أن:

$\sum_{cyc}\frac x{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \sum_{cyc}\frac x{x+y+z}=1$

لكن لاحظ أن هذه العبارة تكافئ:

$\sum_{cyc} \frac 1{\sqrt{b + \frac 1a + \frac 12}}\ge \sqrt 2$

كما هو متوقع

.

25-05-2009, 05:33 PM

السلام عليكم

اعتقد ان هناك خطا في التعويض ، او اني لم لم اراجع حلك جيدا

عندما عوضت a و b , C بقيمها الجديدة

25-05-2009, 08:12 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم

اعتقد ان هناك خطا في التعويض ، او اني لم لم اراجع حلك جيدا

عندما عوضت a و b , C بقيمها الجديدة

أستميحك عذرا، بالفعل استعجلت، وهذا هو الحل بعد التعديل مع بعض التفصيل في الحسابات:

$\sqrt{\frac{1}{b+\frac 1a + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{c+\frac 1b + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{a+\frac 1c + \frac 12}} \ge \sqrt 2$

الآن بفرض أن $a = \frac zx, b=\frac yz, c=\frac xy$ نجد:

$\sqrt{\frac{1}{\frac yz + \frac xz + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{\frac xy + \frac zy + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{\frac zx + \frac yx + \frac 12}}\ge \sqrt 2\\$

بعد العمليات الجبرية نجد:

$\sqrt{\frac{2z}{2x+2y+z}} + \sqrt{\frac{2y}{2x + y + 2z}} + \sqrt{\frac{2x}{x +2y + 2z}} \ge \sqrt 2$

بقسمة الطرفين على $\sqrt 2$ نجد:

$\sqrt{\frac{z}{2x+2y+z}} + \sqrt{\frac{y}{2x + y + 2z}} + \sqrt{\frac{x}{x + 2y +2 z}} \ge 1\\$

لكننا نعلم أن:

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{z}{2x+2y+z}} = \sum_{cyc}\frac z{\sqrt{z(2x + 2y + z)}} \ge \sum_{cyc}\frac{z}{x + y + z}=1$

بالتالي ينتج المطلوب بالتكافئات المتتالية.

26-05-2009, 02:35 PM

السلام عليكم

شكرا اخي mathson على الحلول الدكية ،

بارك الله فيك


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة