أوجد قيم العدد الصحيح a التي من أجلها يكون العدد 2a³- a² + 2 من مضاعفات العدد 7

 

 

حسان

أنت تبحث عن حل للمتطابقة (Congruence) :



نحتاج للنظرية التالية :


لاحظ أن a³ - a² + 2 لها - 1 كجذر

و ذلك لأنك عندما تعوض - 1 في العبارة a³ - a² + 2 ، تحصل على صفر

إذن ( a + 1 ) عامل ( Factor )

إجراء القسمة المطولة تحصل على العامل الثاني : a² - 2a + 2
إذن :



الأولى :




إذن a = 7k + 6 , k is integer
الثانية غير قابلة للتحليل و إلا عاملناها معاملة الأولى و هي ليس لديها حل

بإكمال المربع :





الآن ضع : y = a - 1



و هذه لا حل لها لأن أي مربع يجب أن يكون كما في الجدول التالي بالنسبة لـ mod7 :



آلة حاسبة لحل المتطابقات التربيعية ( Quadratic Congruences) ، على الرابط :

http://www.numbertheory.org/php/quadratic.html


كان من الممكن أن نجرّب القيم : a = 0, 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6

نجد أن 6 هي الوحيدة التي تحقق المتطابقة

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

 

 

استاذي uae انت حليت السؤال علي اساس ان معامل a^3 هو الواحد
ولكنه في الحقيقة اثنان
اخي ميكانيكا ماذا قصدت بكلمة البحث في نهاية حلك
ولك الشكر علي ابداعاتك

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة سيد كامل [ مشاهدة المشاركة ]

استاذي uae انت حليت السؤال علي اساس ان معامل a^3 هو الواحد ولكنه في الحقيقة اثنان

شكرا أخي سيد

الحقيقة أن أية متطابقة (Congruence) على الشكل :



يمكن حلها دائما بواسطة التعويض عندما تكون m صغيرة ولكننا نلجأ إلى النظرية التي ذكرتها أعلاه و نظريات أخرى لتفادي الحسابات الناتجة عن التعويض ، المشكلة تكمن عندما تكون m كبيرة على سبيل المثال m = 125

عندها نلجأ إلى مجموعة من النظريات الأخرى التي تساعدنا على الحل

الآن :



بالتعويض في a = 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5 , 6

نجد أن :

a = 2

2a³ - a² + 2 = 14

و هي مضاعف للعدد 7

و عليه أحد الحلول :



a = 7k + 2 , k is integer

7 ك + 2 : 2 ، 9 ، 16 ، ......... ( ك عدد صحيح )

و هي الوحيدة التي تحقق المتطابقة لأن باقي القيم لا ينتج عنها مضاعف للعدد 7

أشكر أخي سيد مرة أخرى