إذا كانت جـ = 5 هي القيمة التي تعينها نظرية رول لدالة كثيرة حدود من الدرجة الثانية على الفترة [ 3 ، ب ] فأوجد قيمة ب

 

 

السلام عليكمورحمة الله وبركاته

قبل البدء في الحل اوضح نظرية رول والتي تنص علي
اذا كانت د : [أ ، ب] الي ح فاذا كانت
1) د متصلة علي [أ ، ب]
2) د قابلة للاشتقاق علي (أ ، ب)
3) د(أ) = د(ب) فانه يوجد علي الاقل جـ ينتمي للفترة (أ ، ب)
بحيث يكون دّ(جـ ) = 0 اي المماس للدالة عند جـ موازي لمحور السينات
نعود للسؤال نجد ان نظرية رول متحققة وقيمة جـ موجود فشروط النظرية موجودة
نفرض ان الحدودية د(س) = هـ س² + و س + ن حيث هـ لاتساوي الصفر
دّ(س) = 2 هـ س + و
دّ(5) = 10 هـ + و = 0 ومنها م = -10 هـ -----(1)
وبتطبيق الشرط الثالث في النظريه اعلاه نجد ان
د(3) = د(ب)
9 هـ +3م + ن = هـ ب²+ ب م + ن ----(2)
وبالتعويض من (1) في (2)
9هـ +3(- 10 هـ) = هـ ب²+ ب ( -10 هـ)
هـ(ب²- 10 ب + 21) = 0
هـ = 0 مرفوضة ب² -10 ب +21 = 0
(ب -3) (ب - 7) =0
ب = 3 او ب = 7
بالطبع ب = 3 مرفوضة لان أ لا تساوي ب
ب = 7

 

 

بارك الله فيك استاذي
نظرية جميلة وحل اجمل

 

 

أخي سيد كامل أبدعت بارك الله فيك

 

 

وهذا حل بسيط يعتمد على القاعدة التي تقول :
إذا حققت الدالة شروط رول على الفترة [أ ، ب ] وكانت الدالة كثيرة حدود من الدرجة الثانية فإن جـ = (أ+ب)/2
إذن (3+ب)/2=5 وبالتالي ب= 10-3=7