متفاوتة .

20-08-2007, 10:34 PM

aوbوcوdوeأعداد حقيقية
بين ان

متى يكون التساوي ؟

23-08-2007, 01:54 AM

باستعمال AM-GM inequality :

$a^2+ b^2+ c^2+ d^2+ e^2\ge 2a\sqrt {b^2+ c^2+ d^2+ e^2 }$

ولتكن هذه المتفاوتة $1$

مع وجود التساوي إذا كان $a^2= b^2+ c^2+ d^2+ e^2$

ومن جهة أخرى باستخدام RMS-AM inequality :

$\sqrt {\frac{{b^2+ c^2+ d^2+ e^2 }}{4}}\ge \frac{{b + c + d + e}}{4}$ مع وجود التساوي إذا كان $b=c=d=e$

إذن : $2a\sqrt {b^2+ c^2+ d^2+ e^2 }= 4a\sqrt {\frac{{b^2+ c^2+ d^2+ e^2 }}{4}}\ge a(b + c + d + e)$

ولتكن هذه المتفاوتة $2$

من المتفاوتتين $1$ و $2$ نتوصل إلى المطلوب : $a^2+ b^2+ c^2+ d^2+ e^2\ge a(b + c + d + e)$

ويكون التساوي إذا وفقط إذا كان : $\{{a^2= b^2+ c^2+ d^2+ e^2\atop b=c=d=e}\$

أي : $\{{a^2= 4b^2\atop b=c=d=e}\$

وبالتالي : $b=c=d=e= \frac{a}{2}$

23-08-2007, 03:27 PM

thank you اخي عمر حل جميل .
تحياتي لك


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة