السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته .

إليكم هذه المتفاوتات الأولمبية .

اثبت أنه إذا كان a و b عددين موجبين بحيث : a+b=1 فإن :

الآن إذا أخذنا ثلاثة أعداد موجبة a,b,c بحيث a+b+c=1 فماذا تتوقع ؟

إليك السؤال ... اثبت أن في هذه الحالة :



ترى لوأخذنا n عدد موجب بحيث يكون مجموع هذه الأعداد هو 1 ...

ماهي المتفاوتة التي تحققها هذه الأعداد ...

إليكم المسألة في عمومميتها

ليكن n من الأعداد الموجبة بحيث :

برهن أن :



بالتوفيق للجميع .

 

 

الاخ عمر
تتميز تمارينه بالافكار العاليه
كما تتمتع حلوله دائما بالروعه
هذه محاولتى لحل الجزء الاول

 

 

بارك الله فيك أخي menalous2006 .

بالنسبة للحل الذي اقترحته ارجوا أن تعيد النظر في الإستنتاج الأخير حيث وليس العكس .

تحياتي لك .

 

 

السلام عليكم
نعلم ان الوسط الحسابى اكبر من التوافقي
(س + ص)\2>=2\(1\س +1\ص)
اذن 1\س +1\ص>=4\(س +ص)

نعود الى المسالة الاولى

استعرت منك متفاوتة س^2 +ص^2>=(1\2)*(س+ص)^2

(ا +1\ب)^2 +(ب +1\ا)^2 >= 1\2*((ا +1\ب)+(ب +1\ا))^2

=1\2( ا +ب +1\ا +1\ب)^2
>=1\2(ا+ب +4\(ا+ب))^2 وهذه من العلاقة الاولى

>=1\2(1+4)^2 =25\2

تحياتى اليك استاذنا الغالي عمر

 

 

بارك الله فيك أخي أشرف .

حل موفق كما عودتنا...

ملاحظة بسيطة ...أكيد تقصد ب

(ا +1\ب)^2 +(ب +1\ا)^2 >= 1\2*((ا +1\ب)+(ب +1\ا))^2

المتفاوتة : (أ +1\أ)^2 +(ب +1\ب)^2 >= 1\2*((ا +1\أ)+(ب +1\ب))^2

بقي الآن المتفاوتات الأخرى ...

من لها ؟

تحياتي .

 

 

سنبرهن هذه المتباينة فى حالتها العامة :



وبالله التوفيق

 

 

حل موفق أخي الكريم بارك الله فيك .

ملاحظة بسيطة :

السطر الثالث غير ضروري ... < (Sum(ai^2 حيث لم يستخدم (2) في الحل .

تحياتي .

 

 

لحل المتفاوتة
لدينا
يعني أن
تكافئ
تكافئ
بالتعويض نجد
و لدينا
تكافئ.
ادن

و بالتالي

 

 

السلام عليكم.
لنحل المتفاوتة
نعلم ان لكل i محصور بين 1 و n.
بالتعويض نجد
تكافئ
و نعلم أن
و بماأن
فان
و بالتالي

 

 

السلام عليكم





( مع ملاحظة)

( انه لا اشكال من جعل المقام به دالة جيب لانها لايمكن ان تساوى الصفر من المعطى )

المقدار المطلوب دراسة اقل قيمة له



بالفك واخذ مجموع المربعين كعامل مشترك





والمقدار المطروح يكون اصغر مايمكن عندما مربع الجيب اكبر ما يمكن

ومعروف ان اكبر قيمة للجيب عند=1

اذن المقدار اكبر من او يساوى (1-0.5)(1+4)² =12.5


واضافة بسيطة يحدث التساوى في حالة جا 2س =1

س =45

ولكن ا = جا² س = جا² 45 = 0.5

اذن التساوى عند ا = ب = 0.5