د(س+ص) + د(س-ص) = 2د(س)د(ص)

14-05-2009, 07:38 PM

أوجد جميع الدوال $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ والتي تحقق

$f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)$

14-05-2009, 08:06 PM

بتعويض x وy ب0 نجد
f(0)²=2f(0)²والتي تكافىءf(0)=0
بالرجوع إلى العلاقة ووضع x=y
نجد f(x)²=0 أي أن f(x)=0

14-05-2009, 09:03 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة zouhirkas [ مشاهدة المشاركة ]

بتعويض x وy ب0 نجد
f(0)²=2f(0)²والتي تكافىءf(0)=0
بالرجوع إلى العلاقة ووضع x=y
نجد f(x)²=0 أي أن f(x)=0

عفوا أخي ولكن هناك إشارة جمع !

$f(0) + f(0) = 2f(0)^2$

14-05-2009, 09:57 PM

بوضع xمكان y
نجد f(2x)+f(0)=2f(x)²
وبوضع x-مكان y
نجد ( f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x
بجمع كلا الطرفين نجد f(x)=0 أو ( f (x)=f(-x
في حالة f زوجية
هناك مالا نهاية من الدوال الزوجية

15-05-2009, 10:28 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة zouhirkas [ مشاهدة المشاركة ]

بوضع xمكان y
نجد f(2x)+f(0)=2f(x)²
وبوضع x-مكان y
نجد ( f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x
بجمع كلا الطرفين نجد f(x)=0 أو ( f (x)=f(-x
في حالة f زوجية
هناك مالا نهاية من الدوال الزوجية

جميل و لكن ليس كل الدوال الزوجية تحقق المطلوب، فمثلا لو افترضنا أن $f(x) = x^2$ لكان:

$(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2y^2$

وهذا بالطبع غير صحيح، لذا هناك دوال زوجية محددة تحقق المطلوب.

17-05-2009, 11:11 PM

بوضع0 مكان x نجد
(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y بماأن الداة زوجية في هده الحالة فإن
f(0)=1
بوضعX مكانx+y نجد ( f(X)+f(X-2y)=2f(X-y)f(y
مرة 0 مكان Xنجد
f(y)=1/2
أي f(x)=1/2 و هدا تناقض مع كون f(0)=1
إدن الدالة الوحيدة التي تحقق هي f(x)=0

18-05-2009, 11:32 AM

اقتباس :

بوضعx مكانx+y نجد ( f(x)+f(x-2y)=2f(x-y)f(y
مرة 0 مكان xنجد
f(y)=1/2

لم أعرف كيف حصل هذا؟ هل من الممكن أن توضح ؟

18-05-2009, 12:35 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

لم أعرف كيف حصل هذا؟ هل من الممكن أن توضح ؟

فقط في حالة زوجية إستعملت البرهان بالخلف

18-05-2009, 12:40 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة zouhirkas [ مشاهدة المشاركة ]

فقط في حالة زوجية إستعملت البرهان بالخلف

ليتك توضح.

18-05-2009, 01:56 PM

وضعت Xكبيرة مكان x+y تحقق


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة