تمرين ( 20 )

ح(ن) متتابعة حسابية
ح2 = 13
مجموع العشرة حدود الأولى منها = 235
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 13
10/2 × [ 2 أ + 9 د ] = 235
بحل المعاداتين جبريا : ــــــ > أ = 10 ، د = 3
المتتابعة : 10 ، 7 ، 4 ، 1 ، - 2 ، ...

 

 

تمرين ( 21 )

متتابعة هندسية حدودها موجبة
ح2 = 6
ح3 = ح1 + 9
أوجد مجموع 12 حدا الأولى منها ؟

أ ر = 6
أ ر^2 = أ + 9
بحل المعادلتين جبريا
2 ر^2 - 3 ر - 2 = 0
( 2 ر + 1 )( ر - 2 ) = 0
ر = - 1/2 ....... مرفوض حيث حدود المتتابعة موجبة
ر = 2 ــــــــ> أ = 3

المتتابعة : 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، ....

مجموع 12 حدا الأولى = أ(ر^12 - 1)/(ر - 1) = 3 (2^12 - 1) = 12285

 

 

تمرين ( 22 )

ح(ن) متتابعة حسابية
مجموع 7 حدود الأولى = 217
مجموع 6 حدود الأولى = 69
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد أقل عدد من الحدود يمكن أخذه ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب

الحد السابع = ح7 = ج7 - ج6 = 217 - 69 = 148 = أ + 6 د .............. (1)
ج6 = 96 = 6/2 × [ 2 أ + 5 د ] ........................ (2)
من (1) ، (2)
أ = - 86
د = 39
المتتابعة :
- 86 ، - 47 ، - 8 ، 31 ، 70 ، 109 ، 148 ، ...

عندما يكون المجموع = 0
0 = ن/2 × [ 2 × - 86 + (ن - 1) × 39 ] ــــ> ن = 5.4
وتكون ن = 5 عندما يكون المجموع سالب

للتحقق :
ج5 = 5/2 × [ 2 × - 86 + 4 × 39 ] = - 40
ج6 = 6/2 × [ 2 × - 86 + 5 × 39 ] = 69

 

 

تمرين ( 23 )

ح(ن) متتابعة حسابية
ح2 = 8
ح7 + ح10 = 55
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 8
أ + 6 د + أ + 9 د = 2 أ + 15 د = 55
ومنهما :
أ = 5 ، د = 3
المتتابعة : 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ...

 

 

تمرين ( 24 )

أوجد قيمة ح24 من المتتابعة : 3 ، 5 ، 7 ، ...
ثم أوجد رتبة الحد الذى قيمته - 3 من المتتابعة : 43 ، 41 ، 39 ، ...

وإذا عُلِم أن مجموع 2 ن حدا من المتتابعة الأولى = مجموع ن حدا من المتتابعة الثانية
فأوجد قيمة ن

المتتابعة الأولى هى متتابعة حسابية حدها الأول = 3 ، الأساس = 2
ح24 = أ + 23 د = 3 + 23 × 2 = 49

المتتابعة الثانية هى متتابعة حسابية حدها الأول = 43 ، الأساس = - 2
- 3 = أ + (ن - 1) د = 43 - 2 (ن - 1)
2 (ن - 1) = 46
رتبة الحد الذى قيمته - 3 من المتتابعة = ن = 24

ج(2ن) من المتتابعة الأولى = 2 ن/2 × [ 2 × 3 + (2 ن - 1) × 2 ]
ج(ن) من المتتابعة الثانية = ن/2 × [ 2 × 43 - 2 (ن - 1) ]
ومنهما :
ن = 8
للتحقق :
ج16 من المتتابعة الأولى = 16/2 × [ 2 × 3 + 15 × 2 ] = 288
ج8 من المتتابعة الثانية = 8/2 × [ 2 × 43 - 2 × 7 ] = 288

 

 

تمرين ( 25 )

ح(ن) متتابعة هندسية حدودها موجبة
الحد الثالث = 4
مجموع الثلاثة حدود الأولى منها = 28
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموعها الى مالانهاية

أ ر^2 = 4 ــــــــــــ> أ = 4/ر^2
أ + أ ر + أ ر^2 = 28
أ ( ر^2 + ر + 1 ) = 28
4/ر^2 × ( ر^2 + ر + 1 ) = 28
7 ر^2 = ر^2 + ر + 1
6 ر^2 - ر - 1 = 0
( 2 ر - 1 )(3 ر + 1 ) = 0
ر = 1/2 ــــــــــــــــــــــــ> أ = 16
ر = - 1/3 ..... ، مرفوض حيث حدود المتتابعة موجبة

المتتابعة : 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1 ، 1/2 ، ...

مجموع عدد غير متناهى من الحدود = أ /( 1 - ر ) = 32

 

 

تمرين ( 26 )

4 ، ب ، ج فى تتابع حسابى
2 ، (ب + 3) ، 5 ج فى تتابع هندسى
أوجد : ب ، ج
ثم أوجد مجموع حدود غير متناهية من المتتابعة : 5 ج ، (ب + 3) ، 2 ، ...

2 ب = 4 + ج ــــــــــــ> ج = 2 ب - 4
(ب + 3)^2 = 2 × 5 ج = 10 ج

ب^2 + 6 ب + 9 = 10 (2 ب - 4) = 20 ب - 40
ب^2 - 14 ب + 49 = 0
(ب - 7)^2 = 0 ـــــــــــ> ب = 7 ، ج = 10

المتتابعة : 5 ج ، (ب + 3) ، 2 ، ... هى : 50 ، 10 ، 2 ، ...
وهى متتابعة هندسية حدها الأول = 50 ، الأساس = 1/5
مجموع عدد غير متناهى من حدودها = 50 /(1 - 1/5) = 125/2 = 62.5

 

 

تمرين ( 27 )

متتابعة هندسية غير متناهية
ح4 = 4
الوسط الحسابى بين حديها ح3 ، ح5 = 5
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموعها الى مالانهاية

أ ر^3 = 4 ـــــــــــــــــ> أ ر^2 = 4/ر
أ ر^2 + أ ر^4 = 2 × 5 ـــــ> أ ر^2 ( 1 + ر^2 ) = 10
إذن :
4/ر × ( 1 + ر^2 ) = 10
2 ر^2 - 5 ر + 2 = 0
( 2 ر - 1 )( ر - 2 ) = 0
ر = 2 ........ مرفوض حيث المتتابعة غير منتهية ، فبلزم ا ر ا < 1
ر = 1/2 ـــــ> أ = 32

مجموع عدد لانهائى من حدودها = 32 /(1 - 1/2) = 64

 

 

تمرين ( 28 )

ثلاثة أعداد تكون متتابعة هندسية مجموعها = 21
وكانت : 4 ح1 ، 3 ح2 ، 2 ح3 تكون متتابعة حسابية
أوجد الأعداد الثلاثة ؟

ح1 + ح2 + ح3 = 21 ..................................... (1)
(ح2)^2 = ح1 × ح3 ...................................... (2)
6 ح2 = 4 ح1 + 2 ح3 ــــ> 3 ح2 = 2 ح1 + ح3 ........... (3)
بحل المعادلات الثلاثة جبريا :
ح1 = 3
ح2 = 6
ح3 = 12

للتحقق :
ح1 + ح2 + ح3 = 3 + 6 + 12 = 21
(ح2)^2 = (6)^2 = 36 ، ح1 × ح3 = 3 × 12 = 36
6 ح2 = 6 × 6 = 36 ، 4 ح1 + 2 ح3 = 12 + 24 = 36

 

 

تمرين ( 29 )

متتابعة هندسية
ح1 + ح3 = 20
ح2 + ح4 = 40
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد رتبة أول حد قيمته > 500

أ + أ ر^2 = 20 ـــــــــــ> أ ( 1 + ر^2 ) = 20
أ ر + أ ر^3 = 40 ـــــــــ> أ ر ( 1 + ر^2 ) = 40
ر = 2
أ = 4
المتتابعة : 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 256 ، 512 ، ...

أ ر^(ن - 1) > 500
4 × 2^(ن - 1) > 500
2^(ن - 1) > 125
2^7 = 128
ن - 1 = 7
ن = 8

ح8 = أ ر^7 = 4 × 2^7 = 512