حدد جميع الدوال ..

03-07-2007, 05:22 PM

حدد جميع الدوال f المعرفة من R نحو R التي تحقق

و
لكل xوy من R.

11-08-2007, 07:19 PM

مسالة رائعة تستحق التفكير

11-08-2007, 09:02 PM

هناك دالة وحيدة $f$ تحقق الشروط هي الدالة الثابتة

أي $f(x)= \frac{1}{2}$ لكل $x$ من $\mathbb R$

التفاصيل فيما بعد .

12-08-2007, 05:57 PM

خطوات الحل :

$1$ - لنبين أن $f(a)=\frac{1}{2}$ .

بوضع $x=0$ و $y=a$ في العلاقة $1$ $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$ نجد أن $f(a)=f(0)^2+f(a)^2$

وبما أن $f(0)=\frac{1}{2}$ فإن $f(a)^2-f(a)+\frac{1}{4}=0$ أي $(f(a)-\frac{1}{2})^2=0$ وبالتالي $f(a)=\frac{1}{2}$ .

$2$ - لنبين أن لكل $x$ من $\mathbb R$ لدينا $f(x)=f(a-x)=f(a+x)=f(-x)$

بوضع $y=0$ في العلاقة $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$ نجد أن $f(x)=f(x)f(a)+f(0)f(a-x)$
وبما أن $f(a)=f(0)=\frac{1}{2}$ فإن $f(x)=f(x).\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.f(a-x)$ ومنه $f(x)=f(a-x)$

لدينا حسب المتساوية الأخيرة $f(-x)=f(a+x)$ وبوضع $y=a$ في العلاقة $1$ نجد $f(x+a)=f(x)f(0)+f(a)f(a-x)$
ومنه $f(x+a)=f(x)\frac{1}{2}+\frac{1}{2}f(a-x)$
إذن $f(x+a)=f(x)\frac{1}{2}+\frac{1}{2}f(x)=f(x)$
وبالتالي $f(-x)=f(x+a)=f(x)$

$3$ - لنبين في الخطوة الأخيرة أن $f(x)=\frac{1}{2}$ لكل $x$ من $\mathbb R$

حسب العلاقة $1$ وبأخد $y=-x$ لدينا $f(x-x)=f(x)f(a+x)+f(-x)f(a-x)$
إذن $f(0)=f(x)^2+f(x)^2=2f(x)^2$
ومنه $f(x)^2=\frac{1}{2}f(0)=\frac{1}{4}$
إذن $f(x)=\frac{1}{2}$ أو $f(x)=-\frac{1}{2}$
وطبعا $f(x)=-\frac{1}{2}$ لكل $x$ من $\mathbb R$ مرفوض لأنه سيؤدي إلى أن $f(0)=-\frac{1}{2}$
وبالتالي $f(x)=\frac{1}{2}$ لكل $x$ من $\mathbb R$ .

12-08-2007, 06:58 PM

شكرا استاذ _عمر_

28-02-2009, 05:33 PM

دائما عند تحديد جميع الدوال نقوم بالوضع؟؟ لأنني لاحظت أنها الطريقة الوحيدة ؟؟

28-02-2009, 06:00 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة jockereda [ مشاهدة المشاركة ]

دائما عند تحديد جميع الدوال نقوم بالوضع؟؟ لأنني لاحظت أنها الطريقة الوحيدة ؟؟

هي الطريقة الأغلب ولكنها ليست الوحيدة.

01-03-2009, 12:32 AM

شكرا أ/ Mathson .. من لديه طريقة أخرى تكون أفضل و أسهل فالرجاء إرشادي إليها..لأن طريقة الوضع قد لا نجد بسهولة مادا نضع !!!


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة