ترسنة متفاوتات 2

29-05-2008, 07:34 PM

السلام عليكم و رحمة الله.
هده أربع متفاوتات أولمبية.

1==) x و y عددين موجبين، بين أن:

2==) ليكن n عددا صحيحا طبيعيا بحيث n>=2 ، بين أن:

3==) بين المتفاوتة التالية لكل x و y و z أعداد حقيقية موجبة:

4==) لتكن a; b; c; d; e أعداد صحيحة تحقق:
بين أن:

بحيث الرمز يعني المضاعف المشترك الأصغر.

و بالتوفيق للجميع.

11-06-2008, 02:49 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
المتفاوتة الاولى :
بتربيع الطرفين نجد
$x^2+y^2+2xy \geq \frac{x^2+y^2}{2}+xy+2 sqrt{\frac{xy(x^2+y^2)}{2}}$

بعد التبسيط نجد:
$\frac{x^2+y^2}{2}+xy \geq\sqrt{2xy(x^2+y^2)}$

$x^2+y^2+2xy \geq2sqrt{2xy(x^2+y^2)}$

لاتبات المتفاوتة الاخيرة نستعمل متفاوتة AM-GM :
$\frac{x^2+y^2+2xy}{2} \geq\sqrt{2xy(x^2+y^2)}$

و منه حسب مبدا التكافؤات المتتالية فان العبارة الاولى صحيحة .

11-06-2008, 02:54 PM

المتفاوتة الثالثة :
بعد التبسيط و القليل من الحساب سنجد انه يجب اتبات ان :
$x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)$

و هي متفوتة صحيحة و حالة خاصة من متفاوتة schur :

$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b) \geq 0$

باخد $r=1$ سنجد المتفاوتة المطلوبة


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة