أثبت أن: [(ن + 1) ( ن + 2 ) *.......................*2ن ] / [ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = 2^ن

 

 

السلام عليكم
ممكن يكون الحل بالاستقراء الرياضي
اولا : العلاقة صحيحة من اجل ن = 1 لان 1 + 1 / 1 = 2 = 2^1
ثانيا : نفرض ان العلاقة صحيحة من اجل ن اي العلاقة التالية صحيحة
[(ن + 1)( ن + 2 )*..........*2ن ] / [ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = 2^ن
نسميها العلاقة رقم 1

ثالثا : نبرهن على صحتها من اجل ن+1 : كالتالي :
[(ن + 2) ( ن + 3 ) *..........*(2ن+2) ] / [ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )(2ن+1)] = 2^ن+1
نبدأ بالطرف الاول للمساواة
نضرب ونقسم على ن+1
[(ن+1)(ن + 2) ( ن + 3 ) *.........(2ن)*(2ن+1)*(2ن+2) ] / [ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )(2ن+1)(ن+1)] نعوض العلاقة رقم 1 فنجد
2^ن * 2(ن+1)*(2ن+2) / )(2ن+1)(ن+1) نختصر فنجد
2^ن * 2 = 2^(ن+1) = الطرف الثاني
وشكرا

 

 

السلام عليكم
يمكن الوصول للحل كالاتي
^2ن ل _ن= 2ن(2ن-1 ) 00000(2ن -ن +1)
= 2ن (2ن-1) 000000(ن+1)
^2ن ل _ن=مضروب 2ن / مضروب ن
= 2ن(2ن-1) (2ن-2)(2ن-3) 3000*2*1/ن(ن-1)(ن-2) 000 3*2*1
نعود للمسائلة
الطرف الايمن = 2ن(2ن-1) (2ن-2)(2ن-3) 3000*2*1/ن(ن-1)(ن-2) 000 3*2*1(2ن-1)(2ن-3) 0000 5*3*1
اذا اخذنا 2 عامل مشترك من البسط من جميع الحدود نحصل علي 2^ن

 

 

أستاذي الفاضل هذه المسألة لهاعدة حلول
حل1
نلا حظ ان 2 ن ل ن = 2 ن ( 2 ن - 1 ) * 000000000 (ن +2 ) (ن +1 )
با لضر ب بسطا ومقا ما في 2 * 4* 6 000000000 2 ن / 2 * 4 * 6 000000000 2 ن
2 ن ل ن ( 2 * 4 *6 00000000000 *2 ن )/ 1 2 3 4 00000000 0000 ( 2 ن -1 )( 2 ن )
= مض (2 ن )/ مض( ن ) * 2 ن ( 1 * 2 * 3 * 0000000000 ن ) البسط / مض(2 ن ) المقام


بجعل المقدار اخرنظافة( بالاختصار فوق /تحت)

= 2 ^ن * مضروب ن /مض ن = 2 ^ن

أتمني من الله تعالي إن أكون قد وفقت في تقدم الحل 1
شكر ا لكم أستاذي الفاضل مع تمنياتي للجميع بحياة سعيدة

تلميذكم /عبد الله عبد الفتاح

 

 

أستا ذي سيد كامل أنتي بجد أستاذ هذا المنتدى
تلميذكم /عبد الله عبد الفتاح

 

 

استاذ عبد الفتاح هذا قمة التواضع منكم واشكرك علي هذا الاطراء ومن الاخر والله انا بعتبر نفسي تلميذ لكل من يعلمني جديدا ولله الحمد الجميع هنا يعطي دون انتظار مقابل وهذا هو قمة العطاء وكلمة في سرك بيني وبينك بس محدش يعرف انا صعيدي مثلك

 

 

شكرا لك ايها الأستاذ على هذا الشرح الوافي

وهذا مايسمى بـــ الإستنتاج الرياضي

والذي يشمل الجمل الرياضية التي تحتاج الى اثبات صحتها

والذي يتم بتطبيق 3 خطوات هي:

1- عندما ن=1

2- بفرض صحة الجملة عند ن=ك

3- المطلوب هو اثبات صحة الجملة عند ن=ك+1
هذه الخطوة التي لم اتقنها بالإمتحان النهائي

.........فالإنسان دائما يتعلم من اخطائه

تحياتي

 

 

رائع جزاكم الله خيرا جميعا
افكار رائعة ومجهود رائع
بارك الله لى فيكم جميعا وسدد خطاكم دائما