متفاوتة رائعة

10-09-2006, 02:28 PM

من لهذه المتفاوتة الرائعة ؟
للإشارة سبق أن طرحت في المنتدى متفاوتة شبيهة على هذا الرابط : منتدى الثانوية العامة

التمرين :

إذا كان x + y = 1

فأثبت أن :

( 1 + 1/x ) ( ا + 1/y)أكبر من أو تساوى 9

باستخدام مدرج الرموز :

prove that

19-09-2006, 12:33 AM

الاخ عمردعنا نحول المتباينة الى
( ا+1) ( ب+1) ( ج+1)\(ا ب ج)
بتوحيد المقامات لكل قوس
البسط ا ب ج +ا +ب +ج+اب+اج+ب ج+1
=اب ج+ا ب+ا ج +ب ج +2
اذن الطرف يصبح بعد القسمة على ا ب ج
1+1\ج+1\ب+1\ا +2\ا ب ج --------------------------------------- 1

ا<1
ب<1
ج<1
ا\ب>1 ------------------------------- 2
الان نثبت ان1\ا+1\ب+1\ج>=9 ---------------------------- 3
نوجد 1\ا+1\ب+1\ج -9 لاحظ ان ا+ب+ج=1
(ا+ب+ج)(1\ا+1\ب+1\ج) - 9
ينتج 3 +ا\ب+ب\ا+ج\ا+ا\ج+ب\ج+ج\ب - 9
ولكن اى من النسب السابقة اكبر من اوتساوى 1
اذن المقدار>=0

وبما ان الوسط الحسابى اكبر من الهندسي

ا+ ب+ ج على 3 >الجذر التكعيبى ل ( ا ب ج)

1\3>الجذر
بتكعيب الطرفان
1\27 >ا ب ج

1\اب ج>27
2\27>54--------------------------------------------- 4

بالتعويض باستخدام العلاقات السابقة
الايمن>=1+9+54=64

وتعبتنا يااخ عمر

19-09-2006, 11:21 AM

الاخ عمر حدث خطا في استنتاج الخطوة الثانية
وهو اثبات ان النسبة ا\ج+ج\ا >=2
نفرض ان احدهما اكبر من الاخر او يساويه
ا>=ج مثلا
اذن ا\ج=س اذن ج\ا=1\س
من السهل اثبات ان س +1\س >=2

لان س >=1
س-1>=0
بالتربيع ثم بالقسمة على س
ينتج ان س+1\س >=2
اذن ا\ج+ج\ا >=2

والباقي ان النسب الست مجموعها اكبر من او يساوي 6
وباقى الاجابة سليمة

وشكرا

19-09-2006, 04:47 PM

الآن فقط اقول لك برافو جوابك سليم .

شكرا لك على هذا الجهد المبذول وبارك الله فيك .

19-09-2006, 08:12 PM

وهذا حل آخر هدية لك أخي أشرف ولجميع الإخوة الأعضاء .

07-05-2009, 09:55 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة omar [ مشاهدة المشاركة ]

وهذا حل آخر هدية لك أخي أشرف ولجميع الإخوة الأعضاء .

لأن $x,y \in \mathbb{R}$ كان من الأفضل أن تكتب :

$xy \le \left( \frac {x+y}{2}\right)^2$

حيث أن $\sqrt{xy}$ كان من الممكن أن يكون عددا تخيليا.

20-09-2006, 12:57 AM

اتمنى عليك ان توضح القاعدة
الخاصة بالوسط الحسابى والهندسى التى اشرت اليها
hm-gm-am
على ما اذكر لم ادرسها من قبل
مع خالص شكري

20-09-2006, 01:45 AM

إليك القاعدة التي طلبتها أخ اشرف في الحالة العامة وهي تشمل المتفاوتات بين الوسط الحسابي والوسط الهندسي والوسط الهارموني ...

20-09-2006, 02:00 PM

حيا الله هذه المتفاوتة الرائعة التى اكسبتنا معلومات رائعة
من شخصية رائعة
اسف اقصد الرهيب عمر

26-12-2007, 10:54 PM

هل يوجد لدى احد الاخوة الكرام المرفقات التى شرحها

استاذنا القدير عمر

رده الله تعالى الينا سالما


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة