متفاوتة 18

18-08-2007, 07:21 PM

السلام عليكم
aوbوc أعداد حقيقية موجبة قطعا
بين ان

28-05-2008, 04:18 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حاول بكل جهدي و نبهني إن أخطأت:
$\frac{a}{{\sqrt {b^2+ \frac{{bc}}{4} + c^2 } }} + \frac{b}{{\sqrt {c^2+ \frac{{ca}}{4} + a^2 } }} + \frac{c}{{\sqrt {a^2+ \frac{{ab}}{4} + b^2 } }} \ge 2$
بجمع البسط في كل كسر نجد :
$\Leftrightarrow 4\left( {\frac{a}{{\sqrt {4b^2+ bc + c^2 } }} + \frac{b}{{\sqrt {4c^2+ ca + a^2 } }} + \frac{c}{{\sqrt {4a^2+ ab + b^2 } }}} \right) \ge 2$
بقسمة الطرفين على 4:
$\Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {4b^2+ bc + c^2 } }} + \frac{b}{{\sqrt {4c^2+ ca + a^2 } }} + \frac{c}{{\sqrt {4a^2+ ab + b^2 } }} \ge \frac{1}{2}$
من متفاوتة جنسن :
$af(4b^2+ bc + c^2 ) + bf(4c^2+ ca + a^2 ) + cf(4a^2+ ab + b^2 ) \ge (a + b + c)f\left( {\frac{{a(4b^2+ bc + c^2 ) + b(4c^2+ ca + a^2 ) + c(4a^2+ ab + b^2 )}}{{a + b + c}}} \right)$
بأخذ الطرف الأيسر و تبسيطه نجد أن:
$\frac{{(a + b + c)\sqrt {a + b + c} }}{{\sqrt {a(4b^2+ bc + c^2 ) + b(4c^2+ ca + a^2 ) + c(4a^2+ ab + b^2 )} }} \ge \frac{1}{2}$
بضرب الطرفين في الوسطين ثم تربيعهما:
$\Leftrightarrow 4(a + b + c)^3\ge 4ab^2+ abc + ac^2+ 4bc^2+ abc + a^2 b + 4a^2 c + abc + b^2 c$
والآن التبسيط:
$\Leftrightarrow 4a^3+ 4b^3+ 4c^3+ 12a^2 b + 12ab^2+ 12b^2 c + 12bc^2+ 12a^2 c + 12ac^2+ 24abc \ge 4ab^2+ abc + ac^2+ 4bc^2+ abc + a^2 b + 4a^2 c + abc + b^2 c$
$\Leftrightarrow 4a^3+ 4b^3+ 4c^3+ 11a^2 b + 8ab^2+ 11b^2 c + 8bc^2+ 8a^2 c + 11ac^2+ 21abc \ge 0$
وهي عبارة صحيحة ، ومنها يتحقق المطلوب .
أشر علي إن أخطأت و أشكرك لأنك أرشدتني و علمتني علم المتفاوتات...
حقا إن علم المتفاوتات جميل

28-05-2008, 04:31 PM

اهلا اخي MATHSON

عند جمع البسط في كل مقام الا ينبغي ان يكون

$\frac{a}{\sqrt{4b^2+bc+\blue{4}c^2}}$

لاحض $4c^2$

28-05-2008, 04:34 PM

صحيح كلامك أخي ياسين شكرا لك
على العموم هو لن يؤثر في الحل الحمد لله

28-05-2008, 04:39 PM

شيء اخر 4 عندما تخرج من الجدر الا يجب ان تساوي 2

28-05-2008, 04:45 PM

حسنا مع هذه الأخطاء الكثيرة و الكبيرة
يجب أن أعيد النظر مرة أخرى ... آآآآآه لا بأس

28-05-2008, 04:50 PM

مجهود مشكور


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة