متفاوتة جميلة.

04-09-2007, 11:23 PM

ليكن xوyوz اعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث x + y + z = 1
برهن ان .

05-09-2007, 12:27 AM

05-09-2007, 01:09 AM

السلام عليكم .

حل جميل أخي مجدي وهذا حل آخر للمسألة .

لدينا تباعا :

$(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + (\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}) + \frac{1}{{xyz}}$

$(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{{z + x + y}}{{xyz}} + \frac{1}{{xyz}}$

$(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{1}{{xyz}} + \frac{1}{{xyz}}$

$(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{2}{{xyz}}$

باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لثلاثة أعداد $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}$

من جهة أخرى $1 = x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}$ إذن $\frac{1}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} \ge 3$ وأيضا $\frac{1}{{xyz}} \ge 27$ .

إذن $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} \ge 9$ و $\frac{2}{{xyz}} \ge 54$ .

وبالتالي $(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) \ge 1 + 9 + 54 = 64$

05-09-2007, 02:21 AM

السلام عليكم .

يمكن أن نبرهن بسهولة أيضا أن إذا كان $x+y=1$ فإن $(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y}) \ge 9$ بحيث $x$ و $y$ و $z$ أعداد موجبة .

وقد سبق عرضها هنا في المنتدى

ومن خلال هاتين المتفاوتتين الجميلتين بدا لي أنه يمكن التعميم

لذلك أقترح هذا التمرين :

ليكن $x_{1}$ و $x_{2}$ و ... و $x_{n}$ أعداد حقيقية موجية بحيث $x_1+x_2+...+x_n=1$ .

برهن أن $(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})...(1+\frac{1}{x_n}) \ge (n+1)^n$

05-09-2007, 04:45 AM

شكرا لك اخي مجدي. و شكرا لك اخي عمر على الحل و على المتفاوتة الجميلة و الصعبة . سافكر فيها ان شاء الله ..
تحياتي


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة