برهن أن...

16-06-2008, 04:34 PM

a و b عددان حقيقيان موجبان حيث a²-1=b² و
برهن أن

16-06-2008, 04:35 PM

أترككم معها...!!

16-06-2008, 05:21 PM

نريد أن نثبت أن

$\sqrt {\frac{{a + b}}{2}}+ \sqrt {\frac{{a - b}}{2}}= \sqrt {a + 1}$
نربع الطرف الأيسر

$\frac{{a + b}}{2} + \frac{{a - b}}{2} + 2\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \sqrt {\frac{{a - b}}{2}}$

$= \frac{{2a}}{2} + 2\sqrt {(\frac{{a + b}}{2})(\frac{{a - b}}{2})}= a + \sqrt {a^2- b^2 }$

وبما أن $a^2- b^2= 1$ فإن الناتج =

$= a + \sqrt 1= a + 1$
وهو مربع الطرف الأيمن

16-06-2008, 05:23 PM

لحل المسالة يكفي حساب الفرق ، لكن هناك حلول بطرق مختلة احسن من الفرق

لنبين ان :
$\sqrt{a+1}-\sqrt{\frac{a-b}{2}}=\sqrt{\frac{a+b}{2}}$ علما ان $a^2-1=b^2$

برتبيع الطرفين : $a+1+\frac{a-b}{2}-2\sqrt{\frac{(a+1)(a-b)}{2}}=\frac{a+b}{2}$

$-2\sqrt{\frac{(a+1)(a-b)}{2}}=\frac{a+b-a+b}{2} -a-1$

$-\sqr{2(a+1)(a-b)}=b-a-1$

بتربيع الطرفين مرة اخرى و دلك بالتاكد من ان $b-a-1\le 0$

$b^2+a^2+1-2ab-2b+2a=2a^2-2ab+2a-2b$

$b^2+a^2+1=2a^2$

$b^2+1-a^2 =0$

ومنه المتساوية محققة لكل $a \geq b\geq 0$ و $b^2+1=a^2$

16-06-2008, 06:01 PM

أحسنتما أ.صالح و أ.ياسين على الحل الجميل و الرائع...
و السلام عليكما.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة