متباينة 3 - الصفحة 2

20-06-2008, 03:05 PM

شكرا لكم على تعليمنا كل يوم المزيد و المزيد..والسلام عليكم..

12-05-2009, 02:09 AM

معدرة يا إخواني لكنكم إعتمدتم في براهينكم على حالة واحدة.فأين هي الحالات الأخرى؟لمادا بالضبط إخترتم حالة c

12-05-2009, 11:07 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة souzuki [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

هذه المتراجحة وردت في أوليمبياد USA عام 1974

وفكرتها مبنية على استخدام Chebysev's inequality وكذلك فهم اللوغاريتمات

بدون المساس بعمومية المسألة نفرض أن

$a \leq b \leq c$

وهذا يستلزم

$\ln a \leq \ln b \leq \ln c$

لدينا الآن متتابعتين يمكن تطبيق Chebysev's inequality

$a \ln a+ b \ln b + c \ln c \geq \frac{(a + b + c)(\ln a + \ln b + \ln c)}{3}$

$\ln a^a+\ln b^b +\ln c^c \geq \frac{(a + b + c)}{3}(\ln a + \ln b + \ln c)$

$\ln (a^a b^b c^c ) \geq \frac{(a + b + c)}{3}(\ln abc)$

$\ln (a^a b^b c^c ) \geq \ln (abc)^{\frac{(a + b + c)}{3}}$

$\Longrightarrow (a^a b^b c^c ) \geq (abc)^{\frac{(a + b + c)}{3}}$

مع الشكر للجميع

هناك حل آخر باستخدام جينسن:

$\frac{a\ln a + b\ln b + c\ln c}{3} \ge \left(\frac{a+b+c}{3} \right ) \ln \left(\frac{a + b + c}{3} \right )\ge \left(\frac{a+b+c}{3} \right ) \ln \left(\sqrt[3]{abc} \right ) = \left(\frac{a+b+c}{9} \right ) \ln \left(abc \right )$

12-05-2009, 11:52 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

هناك حل آخر باستخدام جينسن:

$\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3} \ge \left(\frac{a+b+c}{3} \right ) \ln \left(\frac{a + b + c}{3} \right )\ge \left(\frac{a+b+c}{3} \right ) \ln \left(\sqrt[3]{abc} \right ) = \left(\frac{a+b+c}{9} \right ) \ln \left(abc \right )$

اعتقد انه هناك خطا في استعمالها ، حيت بدل a+b+c على 3 في الطرف التاني يجب لن يكون 1 ، او اني اغفلت مرحلة
ياليت توضح اخي

13-05-2009, 07:13 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

اعتقد انه هناك خطا في استعمالها ، حيت بدل a+b+c على 3 في الطرف التاني يجب لن يكون 1 ، او اني اغفلت مرحلة
ياليت توضح اخي

بارك الله فيك، بالفعل هو خطأ، وتم التصحيح.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة