متفاوتة جميلة

11-08-2007, 03:07 AM

ليكن $x$ و $y$ و $z$ أعداد حقيقية موجبة بحيث $x+y+z=1$ .

برهن أن $0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \frac{7}{27}$

11-06-2008, 03:20 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
لقد استطعت ايجاد برهنة الطرف الايسر فقط.
نعلم ان $xyz \geq (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)$

بما ان $x+y+z=1$ فان :
$xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

بعد النشر و الحساب نجد :
$xyz \geq 1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz$

$\frac{xyz+1}{4} \geq xy+yz+zx-2xyz$ العلاقة ${\star}$

و لدينا حسب متفاوتة AM-GM :
$(x+y+z)^3 \geq 27xyz$

$1\geq 27xyz$

$28\geq 27(xyz+1)$

$7\times 4 \geq 27(xyz+1)$

$\frac{7}{27}\geq \frac{xyz+1}{4}$ العلاقة $\nabla$

من ${\star}$ و $\nabla$ نجد ان :

$\frac{7}{27}\geq xy+yz+zx-2xyz$

27-06-2008, 09:54 PM

حل الطرف التاني

بما ان $x+y+z=1$ فانه يمكننا ان نفترض ان

$x=\frac{a}{a+b+c}$ و $y=\frac{b}{a+b+c}$ و $z=\frac{c}{a+b+c}$

لنبرهن ان

$xy+yz+zx -2xyz \geq 0$

المتفاوتة تصبح

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} -\frac{2abc}{(a+b+c)^3} \geq 0$

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} \geq \frac{2abc}{(a+b+c)^3}$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 2abc$

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2$

و نعلم حسب Cauchy schwartz ان

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9 \geq 2$

و منه المتفاوتة صحيحة

09-04-2009, 08:29 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
لقد استطعت ايجاد برهنة الطرف الايسر فقط.
نعلم ان $xyz \geq (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)$

بما ان $x+y+z=1$ فان :
$xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

بعد النشر و الحساب نجد :
$xyz \geq 1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz$

$\frac{xyz+1}{4} \geq xy+yz+zx-2xyz$ العلاقة ${\star}$

و لدينا حسب متفاوتة am-gm :
$(x+y+z)^3 \geq 27xyz$

$1\geq 27xyz$

$28\geq 27(xyz+1)$

$7\times 4 \geq 27(xyz+1)$

$\frac{7}{27}\geq \frac{xyz+1}{4}$ العلاقة $\nabla$

من ${\star}$ و $\nabla$ نجد ان :

$\frac{7}{27}\geq xy+yz+zx-2xyz$

حل ممتاز بارك الله فيك

09-04-2009, 08:35 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

حل الطرف التاني

بما ان $x+y+z=1$ فانه يمكننا ان نفترض ان

$x=\frac{a}{a+b+c}$ و $y=\frac{b}{a+b+c}$ و $z=\frac{c}{a+b+c}$

لنبرهن ان

$xy+yz+zx -2xyz \geq 0$

المتفاوتة تصبح

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} -\frac{2abc}{(a+b+c)^3} \geq 0$

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} \geq \frac{2abc}{(a+b+c)^3}$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 2abc$

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2$

و نعلم حسب Cauchy schwartz ان

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9 \geq 2$

و منه المتفاوتة صحيحة

يكفي ملاحظة أن أحد الأعداد يجب أن يكون أصغر من ${1 \over 2}$ مثلا العدد $z$

وعليه : $xy+yz+zx-2xyz=xy(1-2z)+xz+yz\geq 0$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة