سؤالين محيرين: بين أن جذر6 عدد غير جذرى؟

28-07-2007, 11:17 PM

1 - بين ان :

2- قدمت تلميذة تحريرا لكي تجد أ ن : ....0.999=1
نعتبر العدد الحقيقي a بحيث ...0.999=a
إ ذن ...9.999=10a
و منه 9=10a-a
إذن : 9=9a
a=1
أ ي : ...0.999 =1
آ كتشف الخطأ الذي آرتكبته هذه التلميذة.

29-07-2007, 05:31 PM

جواب المسألة الأولى :

لنبين أن العدد $\sqrt{6}$ لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb Q$ .

من أجل ذلك سنفترض العكس إذن يوجد عددين اوليان فيما بينهما a و b بحيث $\sqrt{6}= \frac{a}{b}$ .

بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن $a^2 = 6 b^2$ ومنه $a^2$ عدد زوجي إذن $a$ زوجي أيضا أي $a = 2k$ .
بالتعويض في المتساوية الأخيرة نجد أن $3b = 2k^2$ إذن العدد $3$ يقسم $2 k^2$ وحيث أن $2$ أولي مع $3$ فإن $2$ يقسم العدد $b$ .
توصلنا إذن إلا ان العددين $a$ و $b$ زوجيان معا اي يقبلان القسمة على $2$ وهذا متناقض مع كونهما أوليان فيما بينهما .
وبالتالي الإفتراض خاطئ والصواب هو $\sqrt{6}$ لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb Q$ .

جواب الشطر الثاني من الشؤال الأول .

نفترض أن $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb Q$ .
إذن نكتب $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac {a}{b}$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان أوليان فيمابينهما .
بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن $\sqrt{6}= \frac {a^2-5b^2} {2b^2}$ .
وبما أن العددان $a$ و $b$ صحيحان فإن $\frac{a^2-5b^2}{2b^2}$ عدد جذري ( نسبي بالنسبة لأهل المشرق ) ومنه $\sqrt{6}$ ينتمي إلى $\mathbb {Q}$ وهذا غير صحيح حسب مااثبثناه سابقا .
وبالتالي النتيجة المرجوة .

29-07-2007, 06:28 PM

المسألة الثانية :

لاأرى أي خطأ في استدلال التلميذة بشرط أن الكتابة $1= 0.9999....$ فيها مالانهاية من التسعات .

ويمكن إثبات ذلك بطريقة أخرى باستعمال المتتاليات الهندسية

$0.99999...= 0.9+0.09+0.009+......$

وهذا مجموع لانهائي من حدود متتابعة هندسية حدها الأول $0.9$ وأساسها $0.1$

إذن $0.99999....= \frac {0.9}{1 - 0.1}$

أي $0.9999.....= \frac {0.9}{0.9}=1$

30-07-2007, 05:14 PM

الله ينورك و يبارك فيك استادنا العزيز عمر

30-07-2007, 05:34 PM

سلام عليكم

في السؤال الثاني :

عند ضرب الطرفين في 10 ينتج أن :

9.99 = 10 a

أي : تسعتين يمين الفاصلة و ليس 3 تسعات

30-07-2007, 06:03 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة la245 [ مشاهدة المشاركة ]

سلام عليكم

في السؤال الثاني :

عند ضرب الطرفين في 10 ينتج أن :

9.99 = 10 a

أي : تسعتين يمين الفاصلة و ليس 3 تسعات

مادام أن هناك مالانهاية من التسعات يمين الفاصلة فلا يهم أن نكتب تسعة واحدة او تستعتين أو ثلاث أو أربع .....

30-07-2007, 06:52 PM

أعتذر أخ عمر...

لم أنتبه إلى النقط التي في السؤال والتي يُقصد بها عدد لا نهائي من التسعات

30-07-2007, 09:18 PM

صحيح أخي عمر ، و أضيف :

أن كل الكسور العشرية غير المنتهية (Infinite Decimal Fraction)

مثل .............. 0.9999999

تتضمن سلسلة منتهية (Convergent Series ) تنتهي إلى مجموعها

.............. 0.9999999 تنتهي إلى 1 ( Converges to 1 )

و بعض الكتب يكتبون ببساطة : 1 = .............. 0.9999999

و كذلك = .............. 0.33333333


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة