متفاوتة 4

20-06-2008, 09:20 PM

لتكن a و b و c و d أعدادا حقيقية موجبة قطعا.نضع:

1) بين أن:

2) بين أن:

3) استنتج أن :

بالتوفيييق...

21-06-2008, 07:07 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

هذا برهان المتفاوتة الاولى

نعلم ان $(x+y)^2 \geq 4xy$

نضع $x=a+b$ و $y=c+d$

ومنه ينتج $(a+b+c+d)^2 \geq 4(a+b)(c+d)$

21-06-2008, 10:07 PM

شكرا أ/ ياسين على الحل...أنتظر اجابيتك لباقي التمرين...

06-02-2009, 10:53 AM

المسألة رقم 3

أثبت أن :

$\displaystyle S = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b} \ge 2$

الحل: (ستجد حلول المسائل الباقية في هذا الحل و لكن ضمنيا.)
لو جمعنا الحدين لوجدنا:

$\displaystyle \frac{a}{b+c} + \frac{c}{d+a} = \frac{a^2 + c^2 + ad + bc}{(b+c)(a+d)}$

ولكن لاحظ أن $xy \le (x + y)^2 / 4$ . بوضع $x=a+d, y=c+b$ نصل إلى أن $(a+d)(b+c) \le (a+b+c+d)^2/4$ .

والآن نجد أن:

$\displaystyle \frac{a}{b+c} + \frac{c}{d+a} \ge 4\frac{a^2 + c^2 + ad + bc}{(a+b+c+d)^2}$

بالمثل للحدين الآخرين . في النهاية نجد أن:

$\displaystyle S \ge 4 \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ad + bc + ab + cd}{(a+b+c+d)^2} = 4 \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ad + bc + ab + cd}{[(a+c) + (b+d)]^2}$

والمطلوب الآن إثبات أن :

$\displaystyle 2 \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + (a+c)(b+d)}{[(a+c)+(b+d)]^2} \ge 1$

بالتبسيط نجد أن المسألة مكافئة لـ :

$\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge (a+c)^2 + (b+d)^2 \Leftrightarrow a^2 + c^2 + b^2 + d^2 \ge 2ac + 2bd$

وهي صحيحة بواسطة AM-GM.

والله أعلم

06-02-2009, 04:53 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

المسألة رقم 3

أثبت أن :

$\displaystyle s = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b} \ge 2$

الحل: (ستجد حلول المسائل الباقية في هذا الحل و لكن ضمنيا.)
لو جمعنا الحدين لوجدنا:

$\displaystyle \frac{a}{b+c} + \frac{d}{a+b} = \frac{a^2 + c^2 + ad + bd}{(b+c)(a+d)}$

والله أعلم

اضن ان هناك خطأ في الجمع

06-02-2009, 04:58 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

اضن ان هناك خطأ في الجمع

تم التعديل.

10-02-2009, 11:31 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

[COLOR="Red"]المسألة رقم 3
والمطلوب الآن إثبات أن :

بالتبسيط نجد أن المسألة مكافئة لـ :

$\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge (a+c)^2 + (b+d)^2 \Leftrightarrow a^2 + c^2 + b^2 + d^2 \ge 2ac + 3bd$

وهي صحيحة بواسطة AM-GM.

والله أعلم

السلام عيلكم

المتفاوتة الاخيرة خاطئة

كمتال

$a=b=c=d=1$

سينتج $4\geq 5$

11-02-2009, 01:44 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عيلكم

المتفاوتة الاخيرة خاطئة

كمتال

$a=b=c=d=1$

سينتج $4\geq 5$

عفوا... خطأ مطبعي ليس أكثر

.

11-02-2009, 02:06 PM

شكرا لك على التوضيح ، فحلك صحيح

يمكن ايضا استعمال متفاوتة cauchy schwarz للبرهنة على المتفاوتة

و حلها سيكون اجمل و مختصر ، اتركها لمن يود المشاركة

13-02-2009, 02:45 PM

لم يتم التعديل بعد...المرجو من الاخ mathson مراجعة حلوله .


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة