مراجعة قبل الامتحان ( المتتابعة الحسابية ) هام جدا

--------------------------------------------------------------------------------

المتتابعة الحسابية

* هى متتابعة فيها ح ن+1 – ح ن = مقدار ثابت
* يسمى المقدار الثابت أساس المتتابعة الحسابية
* نرمز له بالرمز ء
مثال (1)
بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه
1) ح ن = (3ن + 5 )
2) ح ن =( 11 – 2ن )
3) ح ن =( ن^2 + 3 )
4) ح ن = لو ص^ ن + 1
الحل
1) ح ن = 3ن + 5
ح ن+1 = 3( ن + 1) + 5 = 3 ن + 3 + 5 = 3ن + 8
ح ن+1 –ح ن = 3 ن + 8 – ( 3ن + 5 ) = 3 ن + 8 – 3ن – 5 = 3
ح ن+1 –ح ن = 3 مقدار ثابت (متتابعة حسابية )
(2) ح ن = 11 – 2ن
ح ن+1 = 11 – 2 ( ن + 1 ) = 11 – 2ن – 2 = 9 – 2 ن
ح ن+1 – ح ن = 9 – 2 ن – ( 11 – 2 ن ) = 9 – 2ن – 11 + 2 ن = – 2
ح ن+1 – ح ن = – 2 مقدار ثابت ح ن متتابعة حسابية
(3) ح ن = ن2 + 3
ح ن+1 = ( ن + 1)2 + 3= ن2 + 2ن + 1 + 3 = ن2 + 2ن + 4
ح ن+1 –ح ن = ن2 + 2ن + 4 – ( ن2 + 3)
ح ن+1 –ح ن = ن2 + 2ن + 4 – ن2 – 3
ح ن+1 –ح ن = 2 ن + 1 ( مقدار غير ثابت ) ح ن ليست متتابعة حسابية
( 4 ) ح ن = لـــــــو ص^ ن + 1
ح ن+1 = لـــــو ص^ ن + 1 + 1 = لـــــو ص^ ن + 2
ح ن+1 – ح ن = لـــــو ص^ ن + 2 ÷ لـــــو ص^ ن + 1

نظرية
إذا كانت ح ن دالة من الدرجة الأولى فى ن فإنها تكون متتابعة حسابية


مثال (2)
بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه
(1) ح ن = 3ن + 5
( 2) ح ن = 11 – 2ن
(3) ح ن = ن2 + 3
(4) ح ن = لو ص ن + 1
الحل
(1) ح ن = 3ن + 5 دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية
(2) ح ن = 11 – 2ن دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية
(3) ح ن = ن2 + 3 دالة من الدرجة الثانية لبست متتابعة حسابية
(4) ح ن = لــــــو ص ن + 1 = (ن + 1) لــــــــو ص
ح ن = ن لو ص + لــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن
فهى متتابعة حسابية

الحد العام للمتتابعة الحسابية

ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
* أ هو أول حد نبداء به المتتابعة (إذا لم يشترط بداية أحرى )
* ء هو أساس المتتابعة
* ن هى رتبة الحد
* ح ن قيمة الحد
مثال (3)
فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 000000 ، 487 )
• أوجد الحد السابع ؟
• أوجد رتبة الحد الذى قيمته 67 ؟
• أوجد عدد حدود المتتابعة ؟
الحل
* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
ح7 =3 + ( 7 – 1 ) × 4= 27
++++++++++++*
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
67= 3 + ( ن – 1 ) × 4
67 = 3 + 4ن – 4
67 = 4ن – 1
68 = 4ن ن = 17 #
++++++++++++*
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
487= 3 + ( ن – 1 ) × 4
487 = 3 + 4ن – 4
487 = 4ن – 1
487 = 4ن ن = 122 #
ملاحظة : -
• عدد حدود المتتابعة يساوى رتبة الحد الأخير
• ن Э ص+ دائما ً
• الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية
• أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية
مثال ( 4)
اوجد الحد السابع من النهاية فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 0000000 ، 487 )
الحل
• الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية
• أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية
* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
ح7 =487 + ( 7 – 1)× -4 = 511
الحد السابع من النهاية = 511
مثال (5)
أي من القيمتين 151 أ، 173 ينتمى للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )
الحل
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
151 = 13 + ( ن – 1 ) × 4
151 = 13 + 4 ن – 4
151 = 4ن + 9
4ن = 151 – 9 = 142
4 ن = 142
ن = 35.5 Э ص +
151 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
173 = 13 + ( ن – 1 ) × 4
173 = 13 + 4 ن – 4
173 = 4ن + 9
4ن = 173 – 9 = 164
4ن = 164
ن = 41 Э ص +
173 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )

ملاحظة : -
* للحصول على رتبة أول حد سالب نضع ح ن < صفر
* للحصول على رتبة أول حد موجب نضع ح ن > صفر
مثال (6)
اوجد رتبة أول حد سالب فى المتتابعة الحسابية ( 95 ، 92 ، 89 ، 0000000 )
الحل
نضع ح ن < صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء < صفر
95 + ( ن – 1 ) × - 3 < صفر
95 – 3ن + 3< 0
98< 3ن ( ÷ 3)
32.6666 < ن
ن = 33
رتبة أول حد سالب هو 33
مثال (7)
اوجد رتبة أول حد موجب فى المتتابعة الحسابية (- 135 ، - 133 ، - 131 ، 000 )
الحل
نضع ح ن > صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر
ــ 135 + ( ن – 1 ) × 2 > 0
ــ 135 + 2ن – 2 > 0
ــ 137 + 2ن > 0
2ن > 137 ( ÷2)
ن > 68.5
ن = 69
مثال (8)
اوجد رتبة أول حد أكبر من 200 فى المتتابعة الحسابية ( 10 ، 21 ، 32 ، 000 )
الحل
نضع ح ن > 200
أ + ( ن – 1 ) × ء > 200
10 + ( ن – 1 ) × 11 > 200
10 + 11ن – 11 > 200
ــ 1 + 11ن > 200
11ن > 201 ( ÷11)
ن > 18.272727
ن = 19
مثال (9)
إذا كانت ( 75 ، 3 س ، 00000 ، 2س ، 45 ) متتابعة حسابية اوجد قيمة س
اوجد عدد حدود المتتابعة ؟
الحل
3س – 75 = 45 – س
3س + 2س = 45 + 75
5س = 120 ( ÷5)
س = 24
( 75 ، 72 ، 00000، 48 ، 45 )
ح ن = 2 أ + ( ن – 1 ) ء
45 = 2 × 75 + ( ن – 1 ) × ( ــ 3)
45 = 150 – 3 ن + 3
45 = 153 – 3ن
3ن = 153 – 45 = 108
ن = 36


تعين المتتابعة

معناه إيجاد قيمة كل من أ ، ء
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3 ء ، 0000000 )
* ح1 = أ * ح2 = أ + ء
* ح3 = أ + 2ء * ح4 = أ + 3ء
* ح23 = أ + 22 ء * ح45 = أ + 44 ء
* ح96 = أ + 95 ء * ح96 = أ + 95 ء
مثال (1)
اوجد متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث 12 ومجموع حدودها الثالث الخامس و السادس يساوى 31 ؟
الحل
ح2 + ح3 = 12
أ + ء + أ + 2ء = 12
2 أ + 3ء = 12 (1) × 3
ح3 + ح5 +ح6 = 31
أ + 2ء + أ + 4ء + أ + 5ء = 31
3 أ + 11ء = 31 (2) × ــ 2
6 أ + 9ء = 36
ــ 6 أ ــ 22ء = ــ 62
ــ 13 ء = ــ 26 ء = 2
أ = 3 المتتابعة هى ( 3 ، 5 ، 7 ، 0000000000 )
مثال (2)
متتابعة حسابية حدها السابع يزيد عن مجموع حديها الثالث والرابع بمقدار الوحدة ، حدها الثانى ينقص عن حدها الخامس بمقدار 12 أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح7 – ( ح3 + ح4 ) = 1
أ + 6 ء – ( أ + 2ء + أ + 3 ء ) = 1
أ + 6 ء – 2أ – 5 ء = 1
ء – أ = 1 (1)
ح5 – ح2 = 12
أ + 4 ء – ( أ + ء ) = 12
أ + 4 ء – أ – ء = 12
3 ء = 12 ( ÷ 3)
ء = 4
بالتعويض في (1) نجد أن
4 – أ = 1
أ = 3
المتتابعة هى ( 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 0000 )
مثال (3)
متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث – 7 ومجموع مربعيهما 29 أوجد المتتابعة
الحل
ح2 + ح3 = – 7
أ + ء + أ + 2ء = – 7
2 أ + 3ء = – 7
2 أ = – 7 – 3ء
أ = ( - 7 - 3 د ) / 2 00000000 (1)

( ح2 )2+( ح3 )2= 29
( أ + ء )2+( أ + 2ء )2 = 29 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن
[ (( - 7 - 3 د ) / 2) + ء ]^2 + [( ( - 7 - 3 د ) / 2)+ 2ء ]^2= 29

( – 7 – 3ء + 2ء / 2 )^2 + ( – 7 – 3ء + 4ء / 2 )^2 = 29

( - 7 - د / 2)^2 + (- 7 + د / 2 )^2 = 29

49( + 14 ء + ء2 / 4 )+(49 – 14 ء + ء2 / 4 )= 29

98 + 2ء2 / 4 = 29

98 + 2ء2 = 116
2ء2 = 18
ء2 = 9
ء = 3 بالتعويض في (1)
أ = ــ 8
المتابعة هي ( ــ 8 ، ــ 5 ، ــ 2 ، 000 )
ء = ــ 3 بالتعويض في (1)
أ = 1
المتتابعة هي ( 1 ، ــ 2 ، ــ 5 ، 0000 )
مثال (4)
متتابعة حسابية تناقصية النسبة بين حديها الثالث والثامن هى 2 : 5 ، حدها الخامس يساوى مكعب حدها الأول أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح3 : ح8 = 2 : 5
أ + 2ء : أ + 7 ء = 2 : 5
أ + 2 ء / أ + 7ء = 2/5

5 أ + 10 ء = 2أ + 14 ء
5 أ – 2أ = 14ء – 10 ء
3 أ = 4 ء (1)
ح5 = ح1 3
أ + 4 ء = أ3 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن :
أ + 3أ = أ3
أ3 – 4 أ = 0
أ ( أ2 – 4 ) = 0
أ ( أ – 2 ) ( أ +2) = 0
أ = 0 مرفوض أ = 2مرفوض أ = ــ 2
بالتعويض فى (1) نجد أن
3 × ــ 2 = 4 ء
ء = - 3 / 2
المتتابعة هى : ( ــ 2 ، - 7 / 2، ــ 5 ، 00000 )


•ملحوظة : إذا كان عدد حدود المتتابعة فردى وأقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة :
• 000 ، أ – ء ، أ ، أ + ء ، 0000
مثال (5)
أوجد ثلاثة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 15 ومجموع مربعتها 83 ؟
الحل
الأعداد هى : أ – ء ، أ ، أ + ء
أ – ء + أ + أ + ء = 15
3أ = 15
أ = 5
( أ – ء )2+ أ2 +( أ + ء )2 = 83
( 5 – ء )2+ 5 2 + ( 5 + ء )2 = 83
25– 10ء + ء2+ 25 + 25 + 10 ء + ء2 = 83
75 + 2ء2 = 83
2ء2 = 83 – 75 = 8
2ء2 = 8 (÷2)
ء2 = 4
ء = 2 ، ء = -2
الأعداد هى : الأعداد هى :
( 3 ، 5 ، 7 ) ، ( 7 ، 5 ، 3 )
مثال (6)
مثلث قياسات زواياه الثلاث فى تتابع حسابى ، الفرق بين قياسى الزاويتين الكبرى والصغرى يساوى 80 ْ أوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث ؟
الحل
قياسات الزوايا هى : أ – ء ، أ ، أ + ء
أ – ء + أ + أ + ء = 180
3أ = 180 (÷3)
أ =60
أ + ء – ( أ – ء ) = 80 ْ
أ + ء – أ + ء = 80
2 ء = 80 (÷2)
ء = 40
قياسات الزوايا هى 20 ، 60 ، 100

•ملحوظة إذا كان عدد حدود المتتابعة زوجى و أقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة :
• 000، أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء ، 000
مثال (7) أوجد أربعة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 32 وحاصل ضرب حديها الثانى و الثالث يساوى 60 ؟
الحل
نفرض أن الأعداد هى :
أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء
أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =32
4 أ = 32
أ = 8
( أ – ء ) ( أ + ء ) = 60
( 8 – ء ) ( 8 + ء ) = 60
64 – ء2 = 60
ء2 = 4
ء = 2 ء = - 2 (مرفوض)
الأعداد هى : 00000000000000000000000الأعداد هى :
( 2 ، 6 ، 10 ، 14 ) 0000000000000000000000( 14 ، 10 ، 6 ، 2 )
مثال (8)
س ص ع ل شكل رباعى زواياه فى تتابع حسابي فإذا كان س أصغر الزوايا ، ل أكبر الزوايا وكان جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60 أوجد قياسات زوايا الشكل الرباعى ؟
الحل
نفرض أن الزوايا هى : أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء
أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =360
4 أ = 360
أ =90
جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60
جـــــا ( أ – 3ء ) + جــــا ( أ + 3 ء ) = ظـــــا 60
جـــــا (90 – 3ء ) + جــــا ( 90 + 3 ء ) = ظـــــا 60
جـــتــا ( 3ء ) + جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3
2جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3
جــــتــــا 3ء = جذر 3 / 2
3 ء = 30
ء = 10
س = 90 – 3 × 10 = 60
ص = 90 – 10 = 80
ع = 90 + 10 = 100
ل = 90 + 3× 10 = 120


الوسط الحسابى

إذا كان أ ، ب ، ﺟ فى تتابع حسابي فإن ب تسمى وسط حسابى بين أ ، ﺟ
2 ب = أ + ﺟ
مثال (1)
إذا كان ( 3س – 11 ، 4س + 9 ، 2س + 5 ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ؟
الحل
2 ب = أ + ﺟ
2( 4س + 9) = 3س – 11 + 2س+ 5
8س + 18 = 5س – 6
8س – 5س = – 6 – 18
3س = – 24
س = – 8
مثال (2)
إذا كان (س ، 24 ، ص ، 32 ، ع ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ، ص ، ع ؟
الحل
ص وسط حسابي بين 24 ، 32
2 ص = 24 + 32
2ص = 56 ( ÷2 )
ص = 28
2 × 24 = س + ص س + 28 = 48
س = 48 – 28 = 20
ع + ص = 2 × 32 ع + 28 = 64
ع = 36
ملحوظة :
* عدد الحدود = عدد الأوساط + 2
مثال (3)
أدخل 15 وسطا ً حسابيا ً بين 45 ، - 19
الحل
45 ، * ، * ، * ، 00000 ، * ، * ،* ، - 19
* عدد الحدود = عدد الأوساط + 2
* عدد الحدود = 15 + 2 = 17
* ح17 = - 19 * أ = 45
* ء = ؟؟
ح17 = أ + 16ء = - 19
45 + 16ء = - 19
16 ء = - 19 – 45
16 ء = - 64 ( ÷ 16 )
ء = - 4
الأوساط هى : ( 41،37،33 ، 000، - 15 )
ملحوظة : -
• رتبة الحد = رتبة الوسط + 1
• ح5 = و4
• ح81 = و80
مثال (4)
أوجد متتابعة حسابية مجموع الحد الخامس ووسطها الحادى عشر – 40 ، ضعف وسطها الرابع عشر يزيد عن حدها الثالث بمقدار 54 ؟
الحل
ح5 + و11 = - 40
ح5 + ح12 = ــ 40
أ + 4ء + أ + 11ء = ــ 40
2أ + 15ء = ــ 40 (1) × ــ 1
2و14 – ح3 = 54
2ح15 – ح3 = 54
2 ( أ + 14ء ) – ( أ + 2ء ) = 54
2 أ + 28 ء – أ – 2ء = 54
أ + 26 ء = 54 (2) × 2
2أ + 52 ء = 108
ــ 2أ – 15 ء = 40
37 ء = 148 (÷ 37)
ء = 4 بالتعويض في (1) نجد أن
أ = ــ 50
المتتابعة هى ( ــ 50 ، ــ 46 ، ــ 42 ، 00000 )
مثال (5)
إذا أدخلنا عدة أوساط حسابية بين 3 ، 53 وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين هى 3 : 13 فما عدد الأوساط ؟
الحل
نفرض أن المتابعة هى :
( 3 ، 3 + ء ، 3 + 2ء ، 00000 ، 53 – 2ء ، 53 – ء ، 53 )
الوسطين الأولين الوسطين الأخيرين

( 3 + ء + 3 + 2ء) / ( 53 – 2ء + 53- د ) = 3 / 13

( 6 + 3ء ) / ( 106 – 3ء ) = 3/013
39 ء + 78 = 318 – 9 ء
39 ء + 9 ء = 318 – 78
48 ء = 240 (÷ 48)
ء = 5
المتتابعة هى ( 3 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 53 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
53 = 3 + ( ن – 1 ) × 5
53 = 3 + 5 ن – 5
53 = 5 ن – 2
5ن = 53 + 2 = 55
5 ن = 55 (÷5)
ن = 11
مثال (6)
إذا كان س ، ص وسطين حسابيين بين أ ، ب أثبت أن : أ – ب = 3( س – ص )
الحل
( أ ، س ، ص ، ب ) فى تتابع حسابى
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3ء )
ألأيمن = أ – ب
= أ – ( أ + 3ء )
= أ – أ – 3ء
= - 3ء
الأيسر = 3 (س – ص )
= 3 ( أ + ء – [ أ + 2ء ] )
= 3 ( أ + ء – أ – 2ء )
= - 3ء = الطرف الأيمن
مثال(7)
إذا كانت ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ فاثبت أن: ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ ) = أ( 2ب + ﺟ - أ )
الحل
ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ
( أ ، ب ، جـ ) فى تتابع حسابي
( أ ، أ + ء ، أ + 2 ء )
ب = أ + ء
جـ = أ + 2 ء
الطرف الأيمن = ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ )
= ( أ + 2 ء ) ( أ + 2 ( أ + ء ) – ( أ + 2 ء ) )
= ( أ + 2ء ) ( أ + 2أ + 2ء – أ – 2ء )
= ( أ + 2ء ) (2أ )
= 2أ2 + 4أء
الطرف الأيسر = أ ( 2ب + جـ ــ أ )
= أ ( 2 ( أ + ء ) + أ + 2ء – أ )
= أ ( 2أ + 2ء + أ + 2ء – أ )
= أ ( أ + 4ء )
= أ2 + 4أء = الأيمن


مجموع ن حدا ً من المتتابعة الحسابية


حـ ن = ( ن / 2 ) ( أ + ل )

مثال (1)
أوجد مجموع العشرين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية التى حدها الأول 60 وحدها العشرين 10 ؟
الحل
حـ ن = ( ن / 2 )( أ + ل ) =10( 60 + 10 ) = 700


ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]

مثال (2)
أوجد مجموع الأربعين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية ( 4 ، 7 ، 10 ،00000 )
الحل
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 40 / 2 ) [ 2×4 + ( 40 – 1) ×3 ]
ﺣ ن = 20[ 8 + 117 ] = 2500
مثال (3)
أوجد مجموع متتابعة حسابية مكونة من 20 حدا ً ، حدها الرابع = 11 ، حدها السابع عشر = 76 ؟
الحل
ح4 =11 أ + 3 ء = 11 (1)
ح17 =76 أ + 16 ء = 76 (2)
13 ء = 65
ء = 5 بالتعويض
أ + 3 × 5 = 11 أ = ــ 4
المتتابعة هى ( ــ 4 ، 1 ، 6 ، 0000 )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 20 / 2 )[ 2× ــ4 + ( 20 – 1) ×5 ]
ﺣ ن = 10[ ــ 8 + 95 ] = 870
مثال (4)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 9 ، 12 ، 15 ، 000000 ) ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع 306 ؟
الحل
ﺣ ن =( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
306 = ( ن / 2 )[ 2× 9 + ( ن – 1) ×3 ]
612 = ن[18 + 3 ن – 3 ]
612 = 3 ن2 + 15 ن (÷3)
ن2 + 5 ن – 204 = 0
( ن – 12 )( ن + 17) =0
ن = 12 ن = ــ 17 مرفوض

مثال (5)
فى المتتابعة ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000000 )
• أوجد مجموع العشرة حدود الأولى
• أوجد مجموع العشرة حدود التالية
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء ً من الحد الأول ليكون المجموع 176 ( فسر الجواب )
الحل
المتتابعة هى ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000 )
مجموع العشرة حدود الأولى
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن =( 10 / 2 )[ 2× 36 + ( 10 – 1) ×ــ 4 ]
ﺣ ن = 5[ 72 – 36 ] = 5 × 36 = 180
ح11 = أ + 10 ء = 36 + 10 × ــ 4 = 36 – 40 = – 4
مجموع العشرة حدود التالية
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2ح11 + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 10 / 2 ) [ 2× – 4 + ( 10 – 1) × – 4]
ﺣ ن = 5[ ــ 8 – 36 ] = ــ 220
ليكون المجموع 176
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
176=( ن / 2 )[ 2× 36 + ( ن – 1) ×ــ 4 ]
352= ن[72 – 4 ن + 4 ]
352 = ــ 4 ن2 + 76 ن
4 ن2 – 76 ن + 352 = 0 (÷4)
ن2 – 19ن + 88 = 0
( ن – 8 )( ن – 11 ) = 0
ن = 8 ن = 11
التفسير هو : ح9 + ح10 + ح11 = صفر
مثال (6)
أوجد متتابعة حسابية مكونة من 21 حدا ً ، مجموع الأحد عشر حدا ًالأولى منها 91 ، مجموع الأحد عشر حدا ً الأخيرة = 385
• أوجد المتتابعة
• أوجد مجموع الثلاثة حدود الوسطى منها ؟
الحل

الأحد عشر حدا ًالأولى :
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
91=( 11 / 2 )[ 2 أ+ ( 11 – 1) ء ]
182 = 11[ 2أ +10 ء ]
91 = 11أ + 55 ء
11 أ + 55 ء = 91 (1)
الأحد عشر حدا ًالأخيرة :
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
385=( 11 / 2 ) [ 2 ح11 + ( 11 – 1) ء ]
385 = 11[ ( أ + 10 ء ) + 5 ء ]
35 = أ + 10 ء +5ء
35= أ + 15 ء (÷2)
أ + 15 ء = 35 (2)
11 أ + 55 ء = 91 (1)
14 ء = = 42 (÷ 14)
ء = 3
بالتعويض فى (1) نجد أن
أ + 3 × 3 = 13
أ + 9 = 13
أ = 4
المتتابعة هى ( 4 ، 7 ، 10 ، 00000 )

رتبة الحد الأوسط = ن + 1 / 2 = 21 + 1 / 2 = 22 / 2 = 11

الحدود الثلاث الوسطى هى ( ح 10 ، ح11 ، ح 12 )
ح 10 + ح11 + ح 12 = أ + 9 ء + أ + 10 ء + أ + 11 ء
= 3 أ + 30 ء
= 3 × 4 + 30 × 3 = 102
مثال (7)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 18 ، 15 ، 12 ، 0000 ) ابتداء من حدها الأول لتكون النسبة بين مجموع الثلث الأول منها : مجموع باقى الحدود كنسبة 3 : - 2
الحل
نفرض أن عدد الحدود هو 3ن
الثلث الأول
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 1=( ن / 2 ) [ 2 × 18+ ( ن – 1) × – 3]
جـ 1 =( ن / 2 )[ 36 – 3ن + 3 ]

جـ 1 = ( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) (1)

باقى الحدود
ﺣ 2ن = ( ن / 2 )[ 2ح ن + 1 + ( 2ن – 1) ء ]
جـ 2ن = ( ن / 2 ) [ 2 ( 18 – 3ن)+ ( 2ن – 1)× - 3]
جـ 2 = ن[ 36 – 6ن – 6ن + 3 ]
جـ 2 = ن[ 39 – 12 ن ] (2)

جـ 1 / جـ 2 = 3 / - 2

من (1) ، (2) نجد أن
جـ 1 ( ن / 2 ) ( 39 – 3ن )................ 3
ــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جـ 2 ن [ 39 – 12 ن ] .................. .... ــ 2

39 – 3ن ................... 3
000000000000 = 000
2 ( 39 – 12 ن )......... ــ 2

39 – 3ن .................. 3
0000000000= 0000
( 39 – 12 ن )........... ــ 1

– 39 + 3ن = 117 – 36 ن
3 ن + 36 ن = 117 + 39
39 ن = 156 (÷ 39)
ن = 4
عدد حدود المتتابعة = 3 ن = 3 × 4 = 12

ملحوظة :
•لإيجاد أكبر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها الموجبة أى نضع ح ن > صفر
•لإيجاد أصغر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها السالبة أى نضع ح ن < صفر
•لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع سالبا ً نضع ﺟ ن < صفر
•لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر

مثال (8)
فى المتتابعة ( 16 ، 14 ، 12 ، 000000 )
• أوجد أكبر مجموع ممكن لها ؟
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع موجبا ً ؟
الحل
نضع ح ن > صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر
16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر
16– 2 ن + 2 > صفر
18 – 2 ن > صفر
18 > 2 ن (÷2)
9 > ن
ن = 8
ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر
( ن / 2 ) [ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] > صفر
2 أ + ( ن – 1 ) ء > صفر
2 × 16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر
32 – 2ن + 2 > صفر
34 – 2ن > صفر
34 ن > 2ن (÷2)
17 > ن
ن = 16
مثال (9)
أوجد أقل عدد من حدود المتتابعة الحسابية
( 45 ، 42 ، 39 ، 0000000000 ) ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب وأوجد هذا المجموع ؟
الحل
ﺟ ن < صفر
( ن / 2 )[ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] < صفر
2 أ + ( ن – 1 ) ء < صفر
2 × 45 + ( ن – 1 ) × ــ 3 < صفر
90 – 3 ن + 3 < صفر
93 – 3ن < صفر
93 ن < 3 ن (÷2)
31 < ن
ن = 32
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 32= ( ن / 2 ) [ 2 × 45+ ( 32 – 1) × – 3]
جـ 32 =16 [ 90 – 31 × 3 ]
جـ 32 = 16 × [ 90 – 93 ] = 16 × – 3 = – 48

مثال (10)
أوجد مجموع 17 حدا ً الأولى من المتتابعة
ح ن = 3 ن + 1 ، ن ≤ 4
ح ن = 2ن + 5 ، ن < 4
الحل
ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13
عند ن < 4
ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح2 = 3 × 2 + 1 = 7
ح3 = 3 × 3 + 1 = 10 ح4 = 3 × 4 + 1 = 13
جـ 4 = ح1 + ح2 + ح3 + ح4 = 4 + 7 + 10 + 13 = 34
عند ن > 4
ح5 = 2 × 5 + 5 = 15 ح6 = 2× 6 + 5 = 17
ح7 = 2 × 7 + 5 = 19 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21
( 15 ، 17 ، 19 ، 000000 )
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 13= ( 13 / 2 ) [ 2 × 15+ ( 13 – 1) × 2]
جـ 13 = ( 13 / 2 )[ 30 + 12 × 2 ]

جـ 13 = (13 / 2 )[ 30 + 24 ] = ( 13 / 2 ) × 54= 351

ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13
جـ 17 = 34 + 351 = 385
مثال (11)
أوجد مجموع 20 حدا ً الأولى من المتتابعة
ح ن = 3 ن + 1 ، ن فردية
ح ن = 2ن + 5 ، ن زوجية
الحل
عند ن فردية
ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح3 = 3 × 3 + 1 = 10
ح5 = 3 × 5 + 1 = 16 ح7 = 3 × 7 + 1 = 22
( 4 ، 10 ، 16 ، 000000 )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 1= ( 10 / 2 )[ 2 × 4+ ( 10 – 1) × 6]
جـ 1 = 5 × [ 8 + 9 × 6 ] = 310
عند ن زوجية
ح2 = 2 × 2 + 5 = 9 ح4 = 2× 4 + 5 = 13
ح6 = 2 × 6 + 5 = 17 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21
( 9 ، 13 ، 17 ، 000000 )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 2= (10 / 2 ) [ 2 × 9+ ( 10 – 1) × 4]
جـ 2 = 5 [ 18 + 36 ] = 270
ﺟ 20 = ﺟ 1 + ﺟ 2
جـ 17 = 310 + 270 = 580
مثال (12)
اثبت أن ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حسابية حيث س ، ص Э ح+ وإذا كانت س= 160 ,ص = 1 / 2 أوجد مجموع الحدود التسعة الأولى بدون الآلة الحاسبة ؟
الحل
ح ن = لـــو س ص ^ن + 1 = لـــــــو س + لـــــــو ص^ ن ــ 1
ح ن = لــــو س + (ن ــ 1) لـــــو ص
ح ن = لــــو س + ن لــــــو ص ــ لـــــو ص
ح ن = لــــو س ــ لـــــو ص + ن لــــــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن
ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حـــــســابية أساسها ء = لــــو ص (نظرية )
ح1 = لـــو 160 × ( 1 / 2)^ 1 ــ 1 = لــــــو 160 × 1 = لـــــو 160

ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 2= ( 9 / 2 )[ 2 لــــو 160+ ( 9 – 1) لــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2 ) [ 2 لـــــو 160 + 8 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2)× 2 [ لـــــو 160 + 4 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 + لـــــو 1 / 16]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 × 1 / 16 ] = 9 × لـــــــــو 10 = 9 × 1 = 9
مثال (13)
أوجد مجموعة الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ، 101 والتى تقبل القسمة ÷ 3 ؟
الحل
الأعداد الطبيعية التى تقبل القسمة ÷ 3 هى ( 3 ، 6 ، 9 ، 0000000000 ، 99 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
99 = 3 + ( ن – 1 ) × 3
99 = 3 + 3ن – 3
99 = 3 ن
ن = 33
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ أ + ل ] = ( 33 / 2 ) [ 3 + 99 ] = ( 33 / 2 )× 102 = 1683

مثال (14)
(ح ن) متتابعة حسابية فيها ح 4= 20
ﺤ ن الأولى 3ن – 1
0000000= 0000000
ﺤ 2ن الأولى 12ن – 2

أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها ؟
الحل
نضع ن = 1 فى الطرفين
ﺤ 1 الأولى .....3 × 1– 1...... 2........... 1
000000000= 0000000=....000 = 0000
ﺤ 2 × 1 الأولى 12 × 1 – 2...10 .........5

5 جـ1 = جـ 2
5 ح1 = ح1 + ح2
5 أ = أ + أ + ء
5أ = 2أ + ء
ء = 3أ (1)
ح 4= 20
أ + 3ء = 20 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن
أ + 3 × 3أ = 20
10 أ = 20 أ = 2
ء = 3 × 2 = 6
جـ 10 = 5 ( 2 × 2 + ( 10 – 1 ) × 6 ) =290


تم بحمد الله
أسأل الله أن ينفع به ( لا تنسونا من صالح دعائكم )

مع تمنياتي لكم :
بــالــتــوفـيـق والــنــجــاح الـــبـــاهــــــــــر

 

 

ما شاء الله...ما شاء الله
مجهود رائع جدا جدا
بارك الله فيك أستاذ أبو رامي

 

 

وبارك الله فيك أخي الحبيب وياريت يقرأها الطلاب للأسفادة بإذن الله

 

 

اشكرك استاذي علي مجهودك الغير عادي في هذا المنتدى العظيم
متمني لكم تمام الصحة والعافية

 

 

الشكر لحضرتك أستاذي الفاضل الاستاذ عبد الله علي كلامك الجميل

 

 

ما شاء الله لا قوة إلا بالله
تسلم يا أبو رامي
ارجو الله ان يجعله في ميزان حسناتك

 

 

عذرا
يوجد خطأ في حل مثال (5)
رجاء مراجعته

 

 

[محمود طه القالع]

بارك الله فيك اخي

 

 

وبارك الله فيك أستاذي

 

 

جعله الله في ميزان حسناتك